Experimentalphysik III (Atomphysik)

38 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Abb. 3.2: Zur Veranschaulichung der
Wirkung von P ′ auf P.
So ist das Potential am Punkt P das von einer Ladung im
Volumenelement dV ′ mit der Ladungsdichte ϱ(P ′ ) erzeugt
wird:
φ(P ) = φ(x, y, z) = 1
4πε0 φ =
1
4πε0 r
� ϱ(x ′ ,y ′ ,z ′ )
r
dV ′
��� ′ ′ ′ ϱ (x ,y ,z )
dx ′ dy ′ dz ′
mit r = � (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z − z ′ ) 2
• Ist ϱ überall im Raum Null (leerer = ladungsfreier Raum), so erhalten wir die Wellengleichung:
∆φ = ∂2φ 1
+ ···=
∂x2 c2 die z.B. durch die ebene Welle φ gelöst wird.
• Lösung der allgemeinen Gleichung:
φ(x, y, z, t) =
1
4πε0 �A(x, y, z, t) = µ 0
4π
∂2φ ,
∂t2 ��� ′ ′ ′ ′ ϱ(x ,y ,z ,t )
dx
r
′ dy ′ dz ′
��� ′ ′ ′ ′ ϱ(x ,y ,z ,t )
· �v(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) dx ′ dy ′ dz ′
r
(3.2.5)
(3.2.6)
Jetzt betrachten wir als Ladung q ein Elektron, eingesperrt in seinem Volumen ∆τ mit dem
Radius r 0 = 1
4πε0
e 2
m0c 2 (klassischer Elektronenradius). Dann müssen wir über dieses Volumen
integrieren. Sei r ≫ r 0 . Nach diesen Formeln unterscheiden sich die Beträge des Volumenelements
dV ′ = dx ′ dy ′ dz ′ zu den Potentialen im Aufpunkt P (x, y, z) vom statischen Fall lediglich
dadurch, daß für ϱ und ϱ · V nicht die momentanen Werte einzusetzen sind, sondern die Werte,
die in dem um die Laufzeit r
r
c zurückliegenden Augenblick (also t − c )indV ′ geherrscht haben.
Die Beiträge des Quellpunktes zu den Potentialen treffen im Aufpunkt P erst nach der Zeit r
c
ein. Deshalb heißen die, aus (3.2.6) bestimmten Werte die retardierten Potentiale und t ′ = t − r
c
die retardierte Zeit. Nun würde jeder meinen, daß das Integral von ϱ über so eine ” Punkt“ladung
einfach die Gesamtladung q ist, also
φ = 1 q
4πε0 r .
Dies ist aber falsch! Da sich das Elektron bewegt und die Laufwege von einem Punkt P ′ 1
nach P und von einem anderen Punkt P ′ 2
in ∆τ
in ∆τ nach P unterschiedlich sind, vergrößert sich
scheinbar das Volumen ∆τ und somit wegen q = ϱ · V auch die Ladung. Es gilt (ohne Rechnung)
q eff = ϱ · ∆τ =
q
1 − �v·�r
rc
.