Experimentalphysik III (Atomphysik)

9.1. Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Symmetrieerhaltung, Fermionen und Bosonen 179
Wie können wir das Abbildung 9.3 verstehen? Betrachtet man die beiden Spinfunktionen
χ1 1 , χ−1 1 (Parallelstellung des Spins), so ergibt sich ein resultierender Gesamtspin S =
s1 + s2 = 1und somit mS = 1 oder −1 . Für den Fall χ0 1 bedenken wir, daß es bei
Parallelstellung des Spins drei z–Komponenten, nämlich 1, 0, −1geben muß. Somit muß
also χ0 1 die z–Komponente mS = 0 zugeordnet werden. Für S = 0 (Antiparallelstellung)
kann mS nur den Wert Null annehmen. Damit erhalten wir eine antisymmetrische und
drei symmetrische Spinfunktionen, für die wir neue Symbole geschrieben haben. Durch
Vertauschen von ↑ und ↓ reproduziert sich χS und χA geht in −χA über.
Zusammenfassend erhalten wir für ein Zweielektronensystem ein
• Triplett-System S =1,mS =1, 0, −1; parallele Spins“ koppeln auf drei Arten.
”
• Singulett-System S = mS =0 antiparallele Spins“ koppeln auf eine Art.
”
2. Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für die zwei Ortswellenfunktionen ψ S und
ψ A explizit ausrechnen:
ψ S (�r 1 ,�r 2 )= 1
√ 2 (ψ(�r 1 ,�r 2 )+ψ(�r 2 ,�r 1 ))
|ψ S | 2 = 1
2 (|ψ(�r 1 ,�r 2 )|2 + |ψ(�r 2 ,�r 1 )| 2 + |ψ(�r 1 ,�r 2 )ψ(�r 2 ,�r 1 )| + |ψ(�r 2 ,�r 1 )ψ(�r 1 ,�r 2 )|)
Für �r 1 = �r 2 = �r ist: |ψ S | 2 = 1
2 (4 ·|ψ(�r,�r)|2 )=2·|ψ(�r,�r)| 2
ψ A (�r 1 ,�r 2 )= 1 √ 2 (ψ(�r 1 ,�r 2 ) − ψ(�r 2 ,�r 1 ))
|ψ A | 2 = 1
2 (|ψ(�r 1 ,�r 2 )|2 + |ψ(�r 2 ,�r 1 )| 2 −|ψ(�r 1 ,�r 2 )ψ(�r 2 ,�r 1 )|−|ψ(�r 2 ,�r 1 )ψ(�r 1 ,�r 2 )|)
(9.1.1)
und für �r 1 → �r 2 |ψ A | 2 → 0 (9.1.2)
Bei einem System, dessen Ortswellenfunktion antisymmetrisch gegen Teilchenvertauschung
ist, ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Teilchen am gleichen Ort zu
finden, gleich Null; bei einem System mit symmetrischer Ortswellenfunktion ist sie
doppelt so groß wie für zwei unterscheidbare Teilchen.
Elektronen sind Fermionen, haben also antisymmetrische Wellenfunktionen. Das ist von großer
Tragweite, denn dadurch wird verhindert, daß die Ortskoordinaten von zwei Elektronen gleicher
Spinrichtung dieselben sind (→ Pauli–Prinzip).
Damit:
ψ A (1, 2) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ψ S (�r 1 ,�r 2 ) · χ 0 0
ψ A (�r 1 ,�r 2 ) · χ 1,0,−1
1
Singulett
Triplett
Wenn also im Zweielektronensystem die Spins parallel sind (χ 0 0 ), dann sind die Elektronen weit
auseinander, da nach (9.1.2) die Wahrscheinlichkeit |ψ A | 2 für �r 1 −→ �r 2 gegen Null geht. Wenn
.