Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 151
mit den Abkürzungen λ = 2mE
�
2 und α2 = mD
�
2 = m2ω 2
�
2 .
Die Lösungen dieser Gleichung erfordern bereits einen enormen mathematischen Aufwand, so
daß wir uns im wesentlichen nur auf die Angabe der Lösungen beschränken: Für α2x2 ≫ λ
αx2 − erhalten wir die asymptotische Lösung ψasympt (x) =C · e 2 , eine Gaußfunktion. Für λ = α
ist dies sogar die exakte Lösung.
Machen wir nun einen Potenzreihenansatz
wobei ψ endlich und
αx2 � −
ψ(x) =C · e 2 a0 + a1x + a2x 2 + ...+ anx n� ,
+∞ �
−∞
|ψ(x)| 2 dx = 1d.h. ψ(x) quadratintegrabel sein soll.
Die Lösungen der obigen Differentialgleichung sind die Hermiteschen Polynome. Die Reihe muß
endlich sein, damit die asymptotische Lösung erfüllt ist. Die Konstante C bestimmt sich aus der
Normierungsbedingung. Die Hermiteschen Polynome haben folgende Eigenschaft:
λn = α(2n − 1)= mω
(2n −1 ) mit n =0, 1, 2, 3,...
�
Für jedes n gibt es also genau eine Lösung. Aus λ = 2mE folgt für die Energiewerte:
En =(n + 1
)�ω n =0, 1, 2,...
2
Also wiederum ist die Energie gequantelt. Zum Planckschen Ergebnis kommt noch — für n =0
—dieNullpunktsenergie E0 = 1
2�ω dazu. Alle höheren Anregungsenergien liegen äquidistant
mit dem Abstand �. Die ersten drei vollständigen Lösungen lauten:
Abb. 7.15: Energie des harmonischen
Oszillators. E0 bezeichnet
die Nullpunktsenergie, die
nicht Null ist.
ψ + 2
ψ − 1
ψ + 0
� 2
(x) =
� 3 4α
(x) =
π
(x) =
�
α
� 1
4
(1 − 2αx
4π
2 αx2 −
)e 2
�
α
� 1
4 αx2 −
e 2
π
x
� 1
4
αx2 −
xe 2
Abb. 7.16: Jeweiliger Verlauf der Wellenfunktion zur entsprechenden Energie. +
und − geben die Parität an.
Für den Grundzustand ergibt sich die Unschärferelation zu
∆x · ∆p = �
2 .