Experimentalphysik III (Atomphysik)

184 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
Das erste Doppelintegral ist einfach die Coulombenergie ∆E Coul für die Wechselwirkung zwischen
den Ladungsdichteverteilungen der Elektronen. Das zweite Doppelintegral muß je nach
Symmetrie addiert oder subtrahiert werden. Wir nennen es Austauschintegral ∆E Aust .
Ortsfunktion S � Spinfunktion A � Para–He 2 1 S 0 ; ∆E = ∆E Coul +∆E Aust
Ortsfunktion A � Spinfunktion S � Ortho–He 2 3 S 1 ; ∆E = ∆E Coul − ∆E Aust
Die numerische Rechnung liefert ∆EAust ≈ 0.4 eV, d.h. ein Unterschied von 2 1S0 −2 3S1 ≈ 0.8eV,
also wie beobachtet. (vgl. Abbildung 9.4.) Die Austauschenergie ist die reale zusätzliche Energie,
die sich als Konsequenz aus der Nichtunterscheidbarkeit der Elektronen ergibt.
Entsprechend liefert die Rechnung für den Grundzustand näherungsweise:
�
∆E = 〈Eee 〉 = ψ ∗ S (�r 1 ,�r 2 )
e2 �
ψS (�r 1 ,�r 2 ) ≈ 34 eV
4πε 0 r 12
mit ψS (�r 1 ,�r 2 )= 1 √ (ψ
2 1 (�r 1 )ψ2 (�r 2 )+(ψ1 (�r 2 )ψ2 (�r 1 )). Daraus ergibt sich die korrigierte Grundzustandsenergie
Eges = E (unabh)
ges +∆E =(−108.8 + 34) eV = −74.8eV. Dies ist nur noch um 5%
falsch.
Zusammenfassend erhalten wir:
Para–He: Singulett Ortho–He: Triplett
ψA (1, 2) = ψS (�r 1 ,�r 2 ) · χA Elektronen näher beieinander �
ψA (1, 2) = ψA (�r 1 ,�r 2 ) · χS Elektronen weiter weg �
Abstoßung größer � schwächer gebunden. Abstoßung schwächer � stärker gebunden.
Zwischen den beiden Termsystemen herrscht ein strenges Interkombinationsverbot. Ferner gibt
es keinen Übergang zwischen einem der beiden 2S–Niveaus und dem 1S–Grundzustand, weil das
die Drehimpulsauswahlregel ∆l = ±1verletzen würde. Beide Niveaus sind also metastabil.
9.3 LS–Kopplung
Wir betrachten nun Mehrelektronensysteme. Da die betroffenen Elektronen miteinander wechselwirken,
hängt die Addition der einzelnen Drehimpulse � l i und �s i zum Gesamtdrehimpuls � J von
gewissen Regeln ab. Für alle leichten und mittelschweren Atome gilt, daß die Bahndrehimpulse
� li der einzelnen Elektronen durch elektrostatische Kräfte zu einem einzigen Bahndrehimpuls � L
gekoppelt sind und daß sich die einzelnen Spins �s i davon unabhängig zu einem Gesamtspin � S addieren.
Dieses Schema wird LS–Kopplung oder Russel–Sounders–Kopplung genannt. Betrachten
wir als konkretes Beispiel wieder unser Helium–Atom.
Vergleicht man den Energieunterschied entsprechender Ortho–Para–He–Zustände mit der Spin–
Bahn–Aufspaltung, so sieht man:
∆E(Ortho–Para) ≈ 0.8eV ≫ ∆E(Spin–Bahn–WW) ≈ 10 −4 eV .