Experimentalphysik III (Atomphysik)

150 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
4. Impulswahrscheinlichkeit |c(p x )| 2 dp x :Sieläßt sich sofort aus der Lösung ablesen:
ψn (x) = 1 � iknx −iknx √ e ± e
2a
� = 1 √
2
d.h. c(p x )= 1 √ 2 und c(−p x )=± 1 √ 2
eiknx √ +
a
� �� �
auf a
�
± 1 √ 2
� e −iknx
√ a
� �� �
norm. ebene Wellen
� |c(px )| 2 = 1
2 ; |c(−px )|2 = 1
2
d.h. man findet px und −px mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1
2 : also ein hin– und herlaufendes
Teilchen.
5. Erwartungswert 〈px 〉 ist offensichtlich gleich Null.
formal:
〈px 〉 = � c ∗ (px ) · px · c(px )= 1 1
√ px √ +
2 2 1
√ (−px )
2 1 √ =0
2
6. Impulsunschärfe ∆p x : Sie muß ebenfalls stark mit n ansteigen, da ja p x ∼ n ist:
(∆pn ) 2 = 〈p 2 n 〉−〈pn 〉2 =
� �� �
=0
1
√ p
2 2 1
n √ +
2 1 √ (−pn )
2 2 1
√2 = p 2 n = �2 2 π2
n
a2 7. Unschärferelation:
� 2 a
∆x · ∆px =
12
�
1 − 6
n2π2 �
� 2 n
2 π2
a 2
� 1
2
= �
�
n2π2 �
− 2 ≈
2 3 2
∆x · ∆px > �
(n >1)
2
8. Parität der Wellenfunktion: Sie folgt aus der Symmetrie.
7.5.2 Der harmonische Oszillator
E
V (x)
Abb. 7.14: Potentielle Energie des
harmonischen Oszillators.
x
Klassisch:
Quantenmechanisch: Die Schrödingergleichung lautet
d 2 ψ(x)
dx 2
2m
+
� 2
m¨x = −Dx x = A cos(ωt)
0 = ¨x + ω2x ω =
E kin = m
2 ˙x2 = p2
2m
�
E − 1
2 Dx2
� D
m
; V (x) = 1
2 Dx2
E = E kin + V (x) = 1
2 DA2
�
ψ(x) = 0
d 2 ψ(x)
dx 2 + � λ − α 2 x 2� ψ(x) = 0
(n =1)