Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.3. Spinoperator, Spin–Bahn–Kopplung, Feinstruktur 169
beachten, daß nur l z und l 2 ,nichtaberl x und l y scharf bestimmt sind, die Orientierung der
Horizontalkomponenten von � l, also die Größe von l x und l y , ist unbestimmt. � l x und � l y besitzen
keine Eigenwerte. Ihre Erwartungswerte ergeben sich mit (8.2.1) zu
〈 � l x 〉 = 〈 � l y 〉 =0.
8.3 Spinoperator, Spin–Bahn–Kopplung, Feinstruktur
In Kapitel 6.4 hatten wir als Folge des Stern–Gerlach–Versuchs den Eigendrehimpuls des Elektrons,
den Spin, eingeführt. Analog zum vorigen läßt sich aus algebraischen Überlegungnen
zeigen, daß die Drehimpulsvertauschungsrelationen für den Spin des Elektrons erfüllt sind. Daraus
ergibt sich in völliger Analogie
�s 2 ψ = s(s +1)� 2 ψ = 3
4 �2 ψ
�s z ψ = m s �ψ = ± 1
2 �ψ
; s =maxm s = 1
2
und wegen �j = � l + �s, vgl. Kapitel 6.7, gilt dies auch für den Gesamtdrehimpulsoperator.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�j 2ψ = j(j +1)�2ψ �j zψ = mj�ψ zu
⎧
⎪⎨
⎪⎩
j = 1 3
2 , 2 ,... oder 0, 1,...
m j = −j,...,0,...,+j
� �� �
2j +1Werte
Die ganzzahligen Werte von j erklären sich erst bei Mehrelektronensystemen (vgl. Kapitel 9).
Bisher haben wir das Verhalten eines Elektrons durch eine Wellenfunktion ψ = ψ(x, y, z)
beschrieben, die entsprechend den drei Freiheitsgraden eines Massenpunktes von den drei Ortskoordinaten
x, y, z abhängt. Demgemäß hängen die Eigenfunktionen stationärer Zustände von drei
Quantenzahlen, beim Wasserstoff–Atom zum Beispiel von n, l und m ab. Wir können nun den
Spin des Elektrons durch eine Spinkoordinate als vierten Freiheitsgrad �s unseres Massenpunktes
auffassen und dementsprechend für die Wellenfunktion ψ = ψ(x, y, z, �s) schreiben. Wenn das Potential
V = V (�r,�s) keinen Term enthält, der �r und �s verknüpft (z.B. keine Spin–Bahn–Kopplung
�l · �s), also wenn gilt V (�r,�s) =V (�r)+V (�s), kann die Wellenfunktion ψ separiert werden in
ψ(�r,�s) =ψ(�r) · χ(�s) .
ψ(�r) ist dabei die Ortsfunktion, χ(�s) die Spinfunktion. Im Gegensatz zu den Ortsfunktionen, die
im Prinzip kontinuierlich alle Werte von −∞ bis +∞ annehmen können, kann die Spinfunktion
χ(�s) entsprechend den Werten sz =+ 1
2� und s 1
z = − 2� nur 2 Werte erhalten. Das bedeutet
anschaulich für den Zustand des Spins: ” Spin nach oben“ und ” Spin nach unten“. Wir führen
jetzt formal zwei Spinfunktionen ein, die diesen Spinrichtungen entsprechen, nämlich χ ↑ und
χ ↓ . Messen wir nun die z–Komponente, quantenmechanisch bedeutet dies ja die Anwendung des
Operators �s z , so muß gelten:
�s z χ ↑ = �
2 χ ↑ oder �s z χ ↓ = − �
2 χ ↓ .
.