Experimentalphysik III (Atomphysik)

154 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Abb. 7.20: Zur
geometrischen Veranschaulichung der
spährischen Polorkoordinaten.
Für ein kugelsymmetrisches Potential V = V (r)(d.h. unabhängig
von ϑ, ϕ), lässt sich folgender Separationsansatz
durchführen:
ψ(�r) =R(r) · Y (ϑ, ϕ) = u(r)
r · Y (ϑ, ϕ) .
Damit und mit dem neuen Ausdruck für den Laplace–Operator ergibt sich die Schrödingergleichung
zu
1 d
r
2u(r) Y (ϑ, ϕ)+u(r)
dr2 r3 � �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 �
+ 2µ
u(r)
(E − V (r)) · Y (ϑ, ϕ) =0,
�2 r
oder
r2 � 2 d u(r)
u(r) dr2 �
2µ
+ (E − V (r)) u(r) =
�2 1
−
Y (ϑ, ϕ) ·
� �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 �
.
Die linke Seite hängt nur von r, die Rechte nur von ϑ, ϕ ab, also müssen beide Seiten gleich
einer Konstanten λ sein, die man Separationskonstante nennt. Wir erhalten zwei Gleichungen,
die sich schreiben lassen als
d2u(r) dr2 2µ
+
�2 �
E − V (r) − �2
�
λ u(r) =0 , (7.5.1)
2µr2 �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 + λY (ϑ, ϕ) =0 . (7.5.2)
Somit haben wir die Schrödingergleichung separiert in eine
• Radialgleichung, dieähnlich aufgebaut ist wie die eindimensionale Gesamtgleichung, nur
daß ein weiterer Potentialterm auftritt,
• und in eine Winkelgleichung, die potentialunabhängig ist, d.h. die für alle Zentralpotentiale
V = V (r) in dieser Form auftritt.
1. Zunächst geben wir die Lösung der Winkelgleichung (7.5.2) an: Y (ϑ, ϕ) ist eine doppelt
periodische Funktion, d.h. sie soll für jedes Wertepaar ϑ, ϕ, das den gleichen Punkt der
Kugeloberfläche beschreibt, den gleichen Wert haben.
Y (ϑ, ϕ) =Y (ϑ + n · 2π, ϕ) =Y (ϑ, ϕ + n · 2π) .