Experimentalphysik III (Atomphysik)

Kapitel 9
Mehrelektronensysteme
9.1 Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Erhaltung der
Symmetrie: Fermionen und Bosonen
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen
auftreten, bereits besprochen, jedoch nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß
vieles bei Mehrelektronensystemen ganz ähnlich ist. Beim Übergang zu Mehrelektronensystemen
tritt aber ein neuer grundsätzlicher Effekt auf, der alle Vielteilchensysteme charakterisiert:
Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen.
Wir beschränken uns zunächst auf zwei Teilchen, die in einem gemeinsamen Potential gebunden
sein sollen, z.B. zwei Teilchen im Kastenpotential oder zwei Teilchen im Coulombpotential (He–
Atom), die Erweiterung auf mehrere Teilchen ist später einfach.
Wählen wir nun als Beispiel das Rechteckpotential. Die das System charakterisierende Wellenfunktion
ψ1,2 = ψ1 (1) · ψ2 (2) hängt dann von den beiden Teilchen 1und 2 ab:
E 2
E 1
Abb. 9.1: Energiebesetzung
zweier Teilchen im Rechteckpotential.
ψ 1,2 soll bedeuten, Teilchen 1befindet sich im Zustand mit der
Energie E 1 und Teilchen 2 im Zustand mit der Energie E 2 . Eine
wichtige Vorraussetzung soll nun sein, daß die Wechselwirkung
der Teilchen untereinander vernachläßigt werden kann. Wir haben
dann E ges = E 1 +E 2 und sprechen von einem Modell unabhängiger
Teilchen. Unter diesen Vorraussetzungen hängt der Potentialterm
des Hamiltonoperators nicht von der Wechselwirkung zwischen
beiden Teilchen ab. Er lautet dann
�H = � H 1 + � H 2 =
� 2 �p 1
2m + � � � 2 �p 2
V (r1 ) +
2m + � �
V (r2 ) .
Wenn nun � H1ψ1 (1) = E1ψ1 (1) und � H2ψ2 (2) = E2ψ2 (2) ist, so ist � Hψ1,2 = Egesψ1,2 mit ψ1,2 =
ψ1 (1) · ψ2 (2) und Eges = E1 + E2 eine spezielle Lösung von � H, denn durch einfache Rechnung
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