Experimentalphysik III (Atomphysik)

148 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Einsetzen der Randbedingungen:
�
A � cos � 1
2ka� + i sin � 1
2ka�� + B � cos � 1
2ka� − i sin � 1
2ka�� = 0 für x =+ a
A
2
� cos � − 1
2ka� + i sin � − 1
2ka�� + B � cos � − 1
2ka� − i sin � − 1
2ka�� = 0 für x = − a
2
�
(A + B)cos � 1
2 ka� = 0
(A + B)cos � − 1
2 ka� = 0
� ± 1 π
2ka = n 2
�
(A − B) i sin � 1
2ka� = 0 für x =+ a
2
(A − B) i sin � − 1
2ka� = 0 für x = − a
2
1 π
(n =1, 3, 5 ...) � ± 2ka = n 2 (n =0, 2, 4,...)
rechts eingesetzt: A − B = 0
Damit wird die Wellenfunktion:
links eingesetzt: A + B =0
�
ψn (x) = 2Acos (knx) n =1, 3, 5,... a
2 kn = ±nπ
2 .
ψ n (x) = 2Ai sin (k n x) n =0, 2, 4,...
Die Amplitude A ergibt sich aus der Normierung von
von ψ n und anschließender Integration erhalten wir
�
+ a
2
− a
2
� 4A 2
�
x
2 ± sin 2knx ��+ ���
4kn a
2
− a
=1,
2
wobei n die Werte wie oben annimmt.
Mit sin(ka) =sin(±nπ) =0für alle ganzzahligen n folgt:
Damit ergeben sich die endgültigen Lösungen:
ψ n (x) =
ψ n (x) =
2A 2 a =1� A = 1
√ 2a .
�
2
a cos (kn x) n =1, 3, 5,...
�
2
ai sin (knx) n =2, 4, 6,...
ψ(x)ψ ∗ (x) dx = 1. Durch Einsetzen
⎫
⎬
⎭ k n
= n π
a
n = 0 ist ausgeschlossen, da sonst ψ0 (k0x) ≡ 0.
Zu diesen Wellenfunktionen gehören diskrete Wellenzahlen kn , damit also auch diskrete Impulse
pn = �kn und diskrete Energien En E n = �2 k 2
2m = n2 �2 π 2
2ma 2 .
Charakteristisches Ergebnis: Aus den diskreten k n folgen