Experimentalphysik III (Atomphysik)

4 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
für 1mol : p ·V = 2
3 NA · Ekin, Molek. = R · T (allgemeine Gasgleichung)
V ist das Molvolumen. Damit erhalten wir
Ekin,Molek. = 3 R
· T =
2 NA 3
· k · T
2
�= kinetische Energie eines Moleküls.
k = R
NA : Boltzmannkonstante
k =1.380658 (12) · 10 −23 J/K
Nun sollen die obigen idealisierten Voraussetzungen aufgegeben werden. Die Antwort auf die
Frage, mit welchen Geschwindigkeiten man zu rechnen hat, gibt das Maxwellsche Gesetz der
Geschwindigkeitsverteilung und der Boltzmannsche Energieverteilungssatz an.
Ein System von Teilchen befinde sich im Temperaturgleichgewicht. Die Teilchen besitzen
aufgrund der Masse unterschiedliche Geschwindigkeiten und aufgrund äußerer
Kräfte eine unterschiedliche potentielle Energie E pot .
Der Boltzmannsche Energieverteilungssatz gibt dann die Wahrscheinlichkeit dafür an, ein
Teilchen mit E pot und E kin zu finden, bzw. gibt an, wie groß die (relativen) Besetzungszahlen
der einzelnen Energiezustände sind:
Wichtige Sonderfälle sind:
dN = f(�r,�v) · dx dy dz dv x dv y dv z
Epot(�r)+Ekin(�v)
mit der Verteilungsfunktion f(�r,�v) =f · e
− kT .
1. Die Dichteverteilung im Schwerefeld (barometrische Höhenformel)
mgh
−
n(h) =n0 · e kT = n0 · e − Epot kT .
2. Die Maxwell–Boltzmannsche Verteilung der Geschwindigkeitskomponenten
φ(v x )=
�
m
� 1 mv2
2
x
e
−
2πkT
2kT =
3. Die Maxwell–Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge
�
m
� 1
2
Ekin
e
− kT analog φ(vy ),φ(vz ) .
2πkT
ϕ(v) =4πv 2 � m
� 3
2 mv2
· e
− 2kT .
2πkT
Eine wichtige Folgerung ist der Gleichverteilungssatz:
EMolekül = 1
2fkT; E 1
Mol = 2fRT.