Experimentalphysik III (Atomphysik)

138 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Dies ist die statistische Deutung oder Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion.
Diese Interpretation hat für die Wellenfunktion selbst wichtige Konsequenzen:
1. Die Normierungsbedingung
�+∞
�
�
+∞ +∞
−∞ −∞ −∞
|ψ(x, y, z, t)| 2 dx dy dz =1, (7.1.1)
d.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im gesamten Raum zu finden ist gleich Eins.
2. Die Eindeutigkeit, Stetigkeit und Endlichkeit von ψ, ∂ψ ∂ψ ∂ψ
∂x , ∂y , ∂z
3. ψ geht hinreichend schnell → 0für x, y, z →∞.
im Raum.
Aus dem Dualismus Welle–Teilchen folgt wie beim Licht (vgl. Kapitel 4.3) die Unschärferelation.
Für die Beugung am Spalt ergibt sich:
Abb. 7.2: Beugung einer ebenen Welle am Spalt.
1. Minimum: sin α = λ h
=
d p · d
d · p sin α = h
∆x · ∆p x = h
Eine Festlegung des Ortes des Teilchens in der x–Richtung auf die Größe d =∆x
bedeutet für dieses eine Teilchen eine Unbestimmtheit in Bezug auf seine Richtung
und damit auf seine Impulskomponente p x in x–Richtung: das einzelne Teilchen
kann irgendwo innerhalb des 0. Beugungsmaximums einschlagen. Die Größe dieser
Unbestimmheit — ∆p x —läßt sich durch den Abstand zwischen den beiden ersten
Beugungsminima abschätzen.
Wenn man jedoch viele Teilchen betrachtet, ergibt sich die Intensitätsverteilung, die
man im Wellenbild erwartet. Den Mittelwert aus den vielen Einzelmessungen nennt
man den Quantenmechanischen Erwartungswert, hier: 〈p x 〉 = 0. Den mittleren
quadatischen Fehler aus den Messungen, die Varianz σ der Verteilung, nennt man
die Unschärfe:
σ 2 := � (p x −〈p x 〉) 2� = 〈p 2 x 〉−〈p x 〉2 ; ∆p x = σ
7.2 Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation
Wir wollen nun diese allgemeinen Betrachtungen konkretisieren: