Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.5. Erhaltungssätze in der Quantenmechanik, Parität 173
Wenn � A nicht explizit von t abhängt, bleiben zwei Summanden stehen. Die Umformung mit
Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung i� ∂
∂tψ = � Hψ;(i�∂ ∂tψ)∗ =( � Hψ) ∗ )ergibt:
und damit
d〈 � A〉
dt
�
i
= (
�
� Hψ) ∗ �
Aψ �
i
dx −
�
ψ ∗ A� Hψdx � =0
�
( � Hψ) ∗ �
Aψ � dx = ψ ∗ H� Aψ � dx
�H ist hermitesch, also gilt
d〈 � A〉
dt =
�
ψ ∗ ( � H � A − � A � H)ψdx=0 �
� �
�H, A�
=0 .
Eine physikalische Größe A ist zeitlich konstant, wenn ihr Operator � A
mit dem Hamiltonoperator kommutiert,
d.h. wenn es zu beiden Operatoren eine gemeinsame Eigenfunktion gibt.
Es ergeben sich folgende Erhaltungsgrößen:
1. Energie: � A = � � �
H; Es ist natürlich �H, H�
=0,d.h.Hist Erhaltungsgröße. Hängt die
Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit ab, also ∂H ∂V
∂t = ∂t
V unabhängig von t.
=0,soistE = const., also
2. Impuls: � A = �p x = −i� ∂
∂x ; wir erhalten
�p x � H − � H �px =
px ist zeitlich konstant, d.h.
0.
�
�p x , � �
H
= � ∂H
i ∂x
� ∂V (x)
=
i ∂x
(vgl. Kapitel 8.1) .
�
�p x , � �
H =0,wennVunabhängig von x ist, damit ∂V
∂x = −Fx =
3. Drehimpuls: � A = �l z = −i� ∂
∂ϕ ;
�A = � l2 = −� 2
� �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
�
�lz H� − H� �lz = �lz , � �
H =0,wennVnicht von ϕ abhängt
�l 2 � H − � H � l2 � �
= �l 2 , H�
=0,wennVweder von ϑ noch von ϕ abhängt: Zentralkraft.
4. Parität: � A = � P
Definition: � Pψ(x) =P ·ψ(−x), d.h. Spiegelung am Ursprung, wobei P gleich dem Eigenwert
zum Paritätsoperator ist. Wegen � P 2 ψ(x) =P 2 ψ(x) und mit P 2 = 1folgt
P = ±1 ,