Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.2. Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation 139
1. Wir betrachten zunächst eine ebene, monochromatische Welle, die nach rechts läuft. Dies
entspricht einem parallelen Teilchenstrom, der sich folgendermaßen darstellen läßt:
Re ψ(x)
x
Abb. 7.4: Darstellung einer ebe-
Abb. 7.3:
nen monochromatischen Welle im k–
Raum. ϕ(k)beschreibt das Spektrum
Darstellung einer ebenen der vorkommenden Wellenzahlen.
monochromatischen Welle im Orts–
Raum.
Monochromatisch heißt:
(a) Nur eine Wellenzahl k = k 0 = 2π
λ0 .
(b) Der Wellenzug ist unendlich lang.
Für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur Zeit t =0amOrtx ergibt sich
|ψ(x, t)| 2 = ψ(x) · ψ ∗ (x) =|C| 2 = const.,
ψ(x, t) =C · e i(k0x−ω0t)
d.h. sie ist unabhängig von x.
Wir könnenanjedemOrtxein einzelnes Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit finden.
Dies können wir uns auch so erklären: Da der Wellenzug unendlich ausgedehnt ist, kann
man das Teilchen nicht lokalisieren.
� Ortsunschärfe (Unbestimmtheit ( mittlerer quadratischer Fehler“) bei der Ortsbes-
”
timmung eines Teilchens): ∆x →∞ .
� Da die Wellenzahl diskret ist, ist auch der Impuls p0 diskret (Unbestimmtheit ( mit-
”
tlerer quadratischer Fehler“) bei Impulsmessung eines Teilchens): ∆p → 0 .
Wenden wir die Normierungsbedingung (7.1.1) auf die ebene, monochromatische Welle an,
so divergiert das Integral und ist somit nicht auf Eins normierbar: ψ(x) �→ 0für x →∞
�
�
+∞
−∞
|ψ(x)| 2 dx = |C| 2 x � � +∞
−∞ .
2. Als Teilchen ist das Elektron lokalisiert, als Welle jedoch nicht. Nun wollen wir versuchen,
das Elektron im Wellenbild zu lokalisieren.
Abb. 7.5: Spektrum der k–
Werte.
Eine Möglichkeit zur Lokalisierung der Teilchen im Raum
ergibt sich, wenn man ein Spektrum der k–Werte vorgibt,
in welchem z.B. die Spektrale Stärke ϕ(k) = const. = A ist.
Wir bilden also eine Wellengruppe, ein Wellenpaket durch
Überlagerung (Superposition) von ebenen Wellen mit den
k–Werten aus dem Bereich k 0 ± ∆k
2 .