Experimentalphysik III (Atomphysik)

74 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Die erlaubten Energieniveaus eines harmonischen Oszillators haben einen gleichen Abstand hν
zueinander (vgl. Abbilung 4.7). Der Oszillator kann nur diese quantisierten Energien aufnehmen.
Die Wahrscheinlichkeiten für die Besetzung eines Energieniveaus En ist gleich
⎛
⎞
En
nhν
P (En )=αe
− kT = αe
− kT
∞�
⎝
1
P (En )=1=⇒ α =
⎠
�
. En
∞
n=0
n=0 e− kT
Nehmen wir nun an, daß wir eine ganze Anzahl von Oszillatoren haben; einige davon werden
im Quantengrundzustand, einige in angeregten Zuständen schwingen usw. . Was uns nun
interessiert, ist die mittlere Energie all dieser Oszillatoren. Dazu müssen wir die Gesamtenergie
der Oszillatoren berechnen und durch die Gesamtzahl der Oszillatoren dividieren, bzw. die
Wahrscheinlichkeit für die Besetzung eines Zustandes mit der jeweiligen Energie bewichten und
über alle Zustände summieren.
Abb. 4.7: Besetzung der Energieniveaus im
thermischen Gleichgewicht.
E(T )
E(T ) kl = kT
hν = kT
E(T ) qm = hν
e hν
kT −1
Abb. 4.8: Mittlere Energie in der klassischen
Physik und in der Quantenmechanik.
Die Gesetze von
T
Dies ergibt dann den mittleren Energieanteil pro Oszillator
im thermischen Gleichgewicht. Diese mittlere Energie
ist dann:
E(T )=
mit z = hν
kT .
E(T ) = zkT
E(T ) = zkT
∞�
n=0
nhν
nhνe
− kT
∞�
n=0
− dN
dz
N
nhν
e
− kT
e −z
(1 − e −z )
E(T )=
zkT
=
∞�
ne
n=0
−nz
∞�
e−nz n=0
∞�
mit N = e
0
−nz 1
=
1 − e−z 1
/ 2 1 − e−z hν
e hν
kT − 1
Der Ausdruck nach dem Gleichheitszeichen steht an
Stelle von kT der klassischen Physik.
Damit ergibt sich die Planksche Strahlungsformel (1900):
Rayleigh–Jeans hν ≪ kT : 1
und Wien hν ≫ kT : 1
u(ν, T ) = 8πν2
c 3
u(λ, T ) = 8πhc
λ 5
hν
e kT −1
hν
e kT −1
−→ kT
hν
−→ e
hν − kT
.
hν
e hν
kT − 1
1
e hc
λkT − 1