Experimentalphysik III (Atomphysik)

5.2. Das Bohrsche Wasserstoff–Atom, wasserstoffähnliche Spektren 91
� mr 2 ω = L = n h
= n�
2π
!Vorsicht!
in der Interpretation für das H–Atom !
Wie wir in 5.4 zeigen werden, ist dies nur ein Sonderfall der von Sommerfeld modifizierten
Drehimpulsquantelung (Annahme von Bohr: Kreisbahnen).
Aus der Quantisierungsbedingung m2r4ω 2 = n2�2 und dem Kräftegleichgewicht mr3ω2 = Ze2
4πε0 ,
n also mr =4πε0 2 2
�
Ze2 folgt der Bahnradius
rn = 1
Z 4πε0 �2 me2 · n2 ,
und für Z =1,n = 1ergibt sich der 1. Bohrscher Radius des Wasserstoff–Atoms
a 0 =4πε 0
Daraus folgt die Energie auf der n.ten Bahn
Abb. 5.5:
Energieniveauschema.
� 2
me 2 =0.528 · 10−8 cm .
Wn = − (Ze2 ) 2m (4πε0 ) 2 1
·
2�2 n2 = −Z2hcR∞ · 1
n2 mit der Rydberg–Konstanten R ∞
R ∞ =
Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der n.ten Bahn ist
Dies läßt sich auch schreiben als
v n
c
= Z · α · 1
n
e2 1
mit α = =
4πε0�c 137
e 4 m
(4π) 3 ε 2 0 �3 c = 109 737.3cm−1 .
vn = ωrn = n�
= Z
mrn e2 1
·
4πε0� n .
Für die Umlauffrequenz des Elektrons auf der n.ten Bahn ergibt sich
ν n = v n
2πr n
= Z 2
, der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten.
me4
32π 3 ε 2 0
�3 · 1
n3 = Z22cR∞ · 1
n
Wir erhalten negative Gesamtenergien, da es sich um Bindungsenergien handelt; d.h. wenn sich
das Elektron vom Kern entfernt, so muß es Energie aufnehmen, bei Annäherung verliert es diese
Energie wieder. Versucht man jedoch, bei einem solchen Modell die Emission und Absorption von
Licht mit den bekannten Gesetzen der klassischen Elektrodynamik zu verstehen, so stößt man
auf grundlegende Schwierigkeiten. Klassisch sollten Bahnen mit beliebigem Radius und damit
eine kontinuierliche Folge von Energiewerten für das Elektron im Feld des Kerns möglich sein.
Würde man die in den Spektralserien in Erscheinung tretenden Energieniveaus jedoch als Werte
3 .