Experimentalphysik III (Atomphysik)

90 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Für Elektronen, die sich auf Kreisbahnen bewegen, ergibt sich in Polarkoordinaten (r, ϕ): ˙r =0,
˙ϕ = ω. Im folgenden sei Z = Z 1 . Es herrscht ein Kräftegleichgewicht zwischen Coulomb– und
Zentrifugalkraft, also:
Ze 2
4πε 0 r 2 = mω2 r.
Für die Energie gilt: W = Wpot + Wkin = − Ze2 1
+
4πε0r 2 mr2ω 2
� W = − 1 Ze
2
2
4πε0r .
Um die Quantisierungsvorschrift zu formulieren, müssen wir zunächst den generalisierten Impuls
bestimmen.
Wir betrachten ein zweidimensionales Problem und wählen als generalisierte (unabhängige)
Koordinaten r, ϕ = qi (i = 1, 2). qi = qi (x, y) sind Funktionen von kartesischen Koordinaten.
Damit ist die potentielle Energie eine Funktion von generalisierten Koordinaten
(Wpot = Wpot (qi )). Die zwei Gleichungen qi = qi (x, y) nach x, y aufgelöst, nach t differenziert
und in Wkin eingesetzt liefern eine homogene, quadratische Funktion der ˙q i mit Koeffizienten,
die von qi abhängen:
Wkin = �
C(qi )˙q
i
2 i
=⇒ ∂W kin
∂ ˙q i
=2C(qi ) · ˙q i ⇐⇒ C(qi )= 1
2˙q i
=⇒ Wkin = 1 � ∂Wkin ˙q i .
2 ∂ ˙q
i i
∂W kin
∂ ˙q i
Der Vergleich mit W kin = 1
2 p x ˙x liefert die Definition der generalsierten Impulse p i
Dann läßt sich zeigen, daß mit der Hamiltonfunktion H = H(q i ,p i ) wieder die
Hamilton–Gleichungen − ∂H
∂q i
Für die Wirkungsfunktion ergibt sich:
�
W kin dt = 1
2
Im Falle der Kreisbahn ist damit
= p˙i ,
�
�
i
∂H
∂p i
p i dq i .
= q˙i q i = r, ϕ −→ ˙r =0, ˙ϕ = ω
p ϕ = ∂W kin
∂ω = mr2 ω = L (Drehimpuls)
gelten.
und unter Berücksichtigung der Quantisierungsbedingung folgt
�
pdq = mr 2 ω · 2π = nh (n =1, 2, 3,... Hauptquantenzahl).
∂Wkin = ∂ . ˙qi