Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 153
Abb. 7.18: Potentialverlauf von Ueff .
die Gesamtenergie E = − e2 p2
+
4πε0r 2m
zu E = − e2
4πε0r �
dE �
�
dr
� r=0
�2
+ → Min
2mr2 = e2
4πε0r2 −
0
�2
mr3 0
=0
� a0 = 4πε0 · �2
me2 1. Bohrscher Radius,
d.h. im Grundzustand des H–Atoms sitzt das Elektron
im Minimum der Gesamtenergie, die sich aus der
potentiellen Energie (Anziehung) und der kinetischen
Energie (Abstoßung) aufgrund der Unschärferelation
ergibt.
Als nächstes soll die Lösung der Schrödingergleichung angegeben werden. Was ist nun neu?
Abb. 7.19: Schaubilld zum
Zweikörperproblem.
Bisher : Eindimensionales Problem → jetzt Dreidimensional
Bisher : Einteilchenproblem → jetzt Zweiteilchenproblem
Durch eine Koordinatentransformation versuchen wir die
Zweiteilchen–Schrödingergleichung in zwei ” Einteilchen“–
Gleichungen zu separieren:
Wir können die Bewegung aufteilen in eine Schwerpunktsbewegung
der Masse M = m 1 + m 2 und in eine Relativbewegung
der beiden Massen zueinander, die abhängig vom dortigen
Potential ist.
Im Folgenden wollen wir uns nur für die Relativbewegung interessieren, so daß wir unser Koordinatensystem
in den Schwerpunkt legen. Damit läßt sich die Schrödingergleichung für die
Relativbewegung der beiden Massen unter Verwendung der reduzierten Masse µ schreiben als
∆ψ(�r)+ 2µ
�2 (E − V (�r))ψ(�r) =0 mitµ = m1 · m2 .
m1 + m2 Um diese Gleichung lösen zu können, müssen wir den Laplace–Operator ∆ auf sphärische Polarkoordinaten
umschreiben:
∆= ∂2 ∂2 ∂2
+ +
∂x2 ∂y2 ∂z2 1
⇒ ∆=
r2 � �
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
r2 � �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
.
mit x = r sin ϑ · cos ϕ
y = r sin ϑ · sin ϕ
z = r cos ϑ