Experimentalphysik III (Atomphysik)

1.4. Bestimmung von N A aus Röntgenbeugung am Kristallgitter 13
Abb. 1.11: Geometrische Veranschaulichung
zur Berechnung von d.
Im Nenner stehen die Achsenabschnitte. Es gilt:
x z′ x
+ y
gx z′ y
gy = C =0, ±1, ±2
Wir betrachten die zur Ursprungsgerade (C =0)im
Abstand d benachbarte Gerade (C =1).
Dann gilt:
a2 =
+ b2 Wieder aufs Dreidimensionale erweitert, heißt das:
x
g x /z ′ x
+ y
g y /z ′ y
= x y
+ =1. (1.4.3)
a b
d 2 = u · v = � (a2 − d2 ) � (b2 − d2 )
d 4 = a 2 b 2 − d 2 (a 2 + b 2 )+d 4
d =
�
a2b2 1
� .
1/a2 +1/b2 (1.4.4)
1. Die Millerindizes z ′ x , z′ y und z′ z sind (siehe (1.4.3)) die Reziprokwerte der Achsenabschnitte
a, b und c (in Einheiten der jeweiligen Basislänge gx , gy und gz ) einer Netzebene, die im
Abstand d parallel zur Ursprungsebene liegt:
z ′ x
1
= ; z
a/gx ′ 1
y = ; z
b/gy ′ 1
z = .
c/gz 2. Der Netzebenenabstand d ergibt sich zu (siehe (1.4.4))
d =
1
� 1/a 2 +1/b 2 +1/c 2 =
3. Die Bedingung (1.4.1) lautet dann:
d sin ϑ = n · λ
2
�
� �
z ′ 2
x + gx
1
� �
z ′ 2
y
gy
+
W.H. und W.L. Bragg 1912 .
� �
.
z ′ 2
z
gz
Aus der Messung von d = a kann nun NA erschlossen werden: Gegeben sei eine Elementarzelle
eines NaCl–Kristalls mit der Kantenlänge a/2. Im Würfel mit Volumen � �
a 3 4
2 sind 8 NaCl–
” Moleküle“, wobei jedes Ion jeweils 8 Würfeln zugehört. Die Zahl der Moleküle je Volumeneinheit
mit Molmasse M.
n = 4/8
(a/2) 3 = 4
a3 . Andererseits ist dies gleich NA
V
N A = 4M
ϱa 3
= NA·ϱ
M
≈ 6.05 · 10 23 /mol
Anmerkung: Die Größe von d kann durch Röntgeninterferenz gemessen werden, wenn λ Rö
bekannt ist.