Experimentalphysik III (Atomphysik)

176 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
läßt sich zeigen, daß
�Hψ 1,2 =( � H 1 + � H 2 )ψ 1 (1)ψ 2 (2) = ψ 2 (2) � H 1 ψ 1 (1) + ψ 1 (1) � H 2 ψ 2 (2)
= (E 1 + E 2 )ψ 1,2 = E ges ψ 1,2
ist. Dies gilt für N Teilchen ganz analog. Das Modell unabhängiger Teilchen bedeutet am
Beispiel der zwei Elektronen, die sich im Coulombpotential des Kerns befinden, daß die gegenseitige
Coulombabstoßung klein sein soll. Das Quadrat |ψ1,2 | 2 der Wellenfunktion ψ gibt die
Wahrscheinlichkeit an, Teilchen 1im Energiezustand E1 und Teilchen 2 im Energiezustand E2 zu finden.
Diese Wahrscheinlichkeit interessiert uns eigentlich nicht, ebensowenig wie |ψ2,1 | 2 , d.h. Teilchen 1
in E2 und Teilchen 2 in E1 zu finden. Beide Wellenfunktionen gehen durch Teilchenvertauschung
ineinander über, d.h. wir erhalten den Zustand, in dem die Teilchen vertauscht sind. Wir können
uns vorstellen, daß dieser durch Anwendung eines Operators � P12 auf den ursprünglichen Zustand
hervorgegangen ist. Man nennt ihn Vertauschungsoperator, der nichts anderes bewirkt, als die
Koordinaten der beiden Teilchen zu vertauschen. Mathematisch geschrieben:
�P 12 ψ 1,2 = ψ 2,1
mit � P 2 12 =1.
Es ist offenbar E ges (1, 2) = E ges (2, 1) : Austauschentartung.
Man interessiert sich nun vielmehr dafür, ein Teilchen im Energiezustand E 1 und ein anderes
Teilchen im Energiezustand E 2 zu finden, also nicht ein bestimmtes. Wollen wir nun
die Wahrscheinlichkeit angeben, irgendein Teilchen bei den betreffenden Koordinaten zu finden,
so bietet sich an, durch Linearkombination der beiden orthogonalen Ausdrücke ψ 1,2 und ψ 2,1 (daß
sie orthogonal sind, sei hier vorrausgesetzt und soll nicht gezeigt werden), die richtige Lösung zu
finden. Hierfür gibt es zwei prinzipiell verschiedene Möglichkeiten:
ψ S (1, 2) = 1 √ 2 ψ 1,2 + 1 √ 2 ψ 2,1
ψ A (1, 2) = 1 √ 2 ψ 1,2 − 1 √ 2 ψ 2,1
⎫
⎪⎬
⎪⎭
ψ S,A = 1
√ 2 (ψ 1,2 + e iϕ ψ 2,1 )
ϕ = 0 : symmetrisch,ψ S
ϕ = π : antisymmmetrisch,ψ A
Wir haben einmal addiert und einmal subtrahiert und dadurch zwei neue orthogonale Ausdrücke
mit dem Normierungsfaktor 1/ √ 2 gewonnen. Die Orthogonalität läßt sich im Prinzip wiederum
leicht zeigen, soll aber hier nicht durchgeführt werden. Was geschieht nun mit ψ S und ψ A
beim Vertauschen der Teilchen? Bei ψ S ändert sich offenbar gar nichts, diese Wellenfunktion
ist symmetrisch gegenüber dem Teilchenaustausch. Bei ψ A ändert sich das Vorzeichen, deshalb
heißt die Lösung antisymmetrisch (daher die Indizes S und A). In Operatorschreibweise:
�P 12 ψ S (1, 2) = ψ S (2, 1)=ψ S (1, 2)
�P 12ψA (1, 2) = ψA (2, 1)=−ψA (1, 2)
und |ψS (1, 2)| 2 = |ψA (1, 2)| 2 .
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