Experimentalphysik III (Atomphysik)

72 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
4.2 Strahlungsformeln, Plancksche Quantisierungsvorschrift,
Phasenraum
Setzt man in u(ω, T) ∼ W (T ) die Beziehung aus dem Gleichverteilungssatz
ein, so erhält man:
W (T )= f
2 kT = kT (HO: f =2: E kin + E pot )
u(ν, T ) = 8πν2
c 3 kT ∼ ν2 T
bzw. u(λ, T ) = 8π
kT ∼
λ4 T
λ 4
Strahlungsformel von Rayleigh–Jeans.
Diese rein klassisch hergeleitete Formel gilt jedoch empirisch nur für kleine ν (große λ). Für
∞�
ν →∞wird u(ν, T ) →∞, damit auch das totale Emissionsvermögen S = Esdν →∞. Dies
bezeichnet man als die sogenannte Ultraviolettkatastrophe.
Für kleine Wellenlängen fand Wien nach Messungen von Lummer und Pringsheim die empirische
Formel, die zwei Konstanten c1 und c2 enthält:
u(ν, T )=c 1 ν 3 e −c 2 ν
T .
Bei der Ableitung dieser Formel mußte Wien verschiedene Hypothesen über den Mechanismus
der Ausstrahlung machen und z.B. annehmen, daß die Frequenzverteilung der Strahlung gleich
der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung der Gasmoleküle ist.
Das Versagen der klassischen Physik bei der Ultraviolettkatastrophe“ war ein herber Schlag.
”
Hier setzte Planck 1900 an: Offenbar gilt der Gleichverteilungssatz nicht allgemein (dies war
bereits von den spezifischen Wärmen her bekannt, bei der die experimentell gefundenen Werte
mit der Theorie nicht mehr übereinstimmten).
Max Planck betrachtete einen linearen harmonischen Oszillator im Phasenraum, der von den
kanonischen Koordinaten aufgespannt wird.
Im folgenden betrachten wir einen Massenpunkt im 3–dimensionalen kartesischen Koordinatensystem
mit den Ortskoordinaten x, y, z. Dann ergeben sich aus einer Verallgemeinerung der
klassischen Bewegungsgleichung:
Wpot = W (x, y, z) −→ − ∂Wpot ∂x = Fx =˙px ,... ,
Wkin = m
2 (˙x2 +˙y 2 +˙z 2 ) −→ ∂Wkin ∂ ˙x = m ˙x = px ,... ,
Wkin = 1
2m (p2x + p2y + p2z ) −→ ∂Wkin =
∂px px =˙x,... ,
m
und unter Einführung der Hamiltonfunktion H
H(x, y, z, p x ,p y ,p z )=W pot + W kin
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