Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.1. Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte, Vertauschungsrelationen 163
Messung einer ” Observablen“ a im
quantenmechanischen System, das
durch eine Zustandsfunktion ψ(x)
charakterisiert wird.
Jetzt müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
⇐⇒
Anwendung des Operators � A auf
die Zustandsfunktion ψ(x). Berechnung
des Eigenwertes A =Meßwert
der Observablen a.
1. Der erste Fall ist der bis jetzt besprochene: Reproduziert sich die Zustandsfunktion ψ(x)
durch Anwendung des Operators � A,d.h.ψ(x) ist Eigenfunktion zu � A, so wird der Zustand
durch die Messung nicht gestört. Eine erneute Anwendung des Operators � A (�= Messung)
liefert also das gleiche Ergebnis, d.h. die Meßwerte sind scharf.
Mit der Eigenwertgleichung � Aψ(x) =A · ψ(x) erhalten wir
�
ψ ∗ (x) � �
Aψ(x) dx = ψ ∗ �
(x)A · ψ(x) dx = A ψ ∗ (x) · ψ(x) dx = A
�
A =
ψ ∗ � �
(x) �Aψ(x) dx .
Der Meßwert — Eigenwert — A ist das Überlappungsintegral zwischen
der Zustandsfunktion � vor der � Messung (ψ(x)) und der Zustandsfunktion
nach der Messung �Aψ(x) .
2. Der zweite Fall ist der in Kapitel 7.5.1Besprochene: Ein Teilchen im Kasten im Grundzustand
mit der Zustandsfunktion ( = Eigenfunktion zum Hamiltonoperator) ψ 0 (x) =
� 2
a cos � π
2 π 2
a x� �
und dem Eigenwert E0 = 2ma2 . Die Impulsmessung liefert kein scharfes
Meßergebnis. Man erhält zwei Impulse px und −px , jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
1/2. Also ist der Erwartungswert gleich dem Mittelwert = 0. Was passiert wenn wir auf
diese Zustandsfunktion (ψ0 (x)) den Impulsoperator �p x anwenden, also nach obigem eine
Impulsmessung vornehmen?
�p xψ0 (x) =−i� ∂
��
2
∂x a cos
�
π
a x
� �
= −i� π
�
2
� �
π
− sin
a a a x
��
�= C · ψ(x) .
Die Zustandsfunktion ψ0 (x) reproduziert sich also nicht: ψ0 (x) istkeine Eigenfunktion zu
�p x !Esistψ0 (x) die Zustandsfunktion vor der Messung und �p xψ0 (x) die Zustandsfunktion
nach der Messung. Wie beim ersten Fall liefert das Überlappungsintegral das Meßergebnis.
Es ist also
�
〈�p x 〉≡ ψ ∗ 0 (x)
�
−i� ∂
Eine Rechnung zeigt
�
ψ0 (x) dx .
∂x
�
〈�p x 〉 = c ∗ (px )pxc(px ) dpx = Erwartungswert für px !
px