Experimentalphysik III (Atomphysik)

4.2. Strahlungsformeln, Plancksche Quantisierungsvorschrift, Phasenraum 73
die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
− ∂H
∂x =˙px , −∂H
∂y =˙py , −∂H
∂z =˙pz ∂H
∂px =˙x,
∂H
∂py =˙y,
∂H
∂pz =˙z
Die Variablen der Hamiltonfunktion heißen kanonische Variablen, sie spannen den Phasenraum
auf. Der Phasenraum wird also durch die Orts– und Impulsvariablen aufgespannt.
Die kinetische Energie läßt sich nun auch schreiben als Wkin = 1
2 (px ˙x + py ˙y + pz ergibt sich für die Wirkungsfunktion:
�T
0
W kin dt = 1
2
�T
0
(p x ˙x + p y ˙y + p z ˙z) dt = 1
2
⎛
�T
�T
�T
⎞
⎝ px dx + py dy + pz dz⎠
.
0
0
.
0
˙z) und damit
Wendet man diesen Formalismus auf den linearen harmonischen Oszillator an, so erhält man
in einem eindimensionalen Phasenraum, der durch die Koordinaten x = x 0 cos ωt und p x =
−mωx 0 sin ωt aufgespannt wird, eine Ellipse.
Abb. 4.6: Quantisierter Phasenraum.
Die Wirkungsfunktion der periodischen Bewegung � p x dx ist
dann die Fläche innerhalb dieser Ellipse. In der klassischen
Physik bildet der Phasenraum ein Kontinuum, d.h. die
möglichen Ellipsen bedecken den (zweidimensionalen) Raum
kontinuierlich.
Revolutionär war Plancks Quantisierungsvorschrift 1 : Es werden
nur solche Ellipsen zugelassen, deren Flächendifferenz zwischen
aufeinanderfolgenden Kurven jeweils h ist.
� px dx = nh n =1, 2, 3,... ” Quantenzahlen“
h ist eine empirische Konstante, sie ist experimentell zu gewinnen ([h] =[W · t] =: Wirkung).
Das bedeutet: Das Volumen des Phasenraumes hat diskrete Werte.
Für den harmonischen Oszillator gilt.
�
pxdx = x0 · mωx0 · π = nh.
Daraus ergibt sich für die Energie des harmonischen Oszillators:
Wn = En = m
2 x20 ω2 = m
2
nh
mωπ ω2 = n h
ω = n�ω = nhν ,
2π
also E n = nhν .
Man beachte, daß die Energie jetzt nur noch gequantelt auftritt.
1Es sei darauf hingewiesen, daß historisch genau dies die Forderung von Planck und En = nhν nur eine
Folgerung daraus war.