Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.1. Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte, Vertauschungsrelationen 165
�A � B − � B � A ≡
� �
�A, B�
=0
Die Operatoren � A, � B sind vertauschbar !
Allgemein: Sind zwei Operatoren � A und � B vertauschbar, so gibt es zu beiden eine gemeinsame
Eigenfunktion ψ, die den quantenmechanischen Zustand des Systems beschreibt.
Dieser Eigenzustand zu beiden Operatoren erlaubt eine scharfe, simultane Messung der
Observablen a und b, wobei die jeweils scharfen Meßwerte A und B gleich den Eigenwerten
der beiden Operatoren sind.
Ein ähnliches Beispiel dazu wäre die Gesamtenergie und der Drehimpuls beim H–Atom.
2. Fall: Was erhält man, wenn man simultan eine beliebige Ortsfunktion f(x) und einen Impuls
p x messen will? ψ(x) ist jetzt nicht gleichzeitig Eigenfunktion zum Impuls– und Ortsoperator.
�f(x)�p xψ(x) �p(x)
=
�
f(x)
� f(x)ψ(x) =
�
−i � ∂
oder
−i� ∂
�
ψ(x) = −i � f(x)
∂x
∂ψ(x)
�
∂x
(f(x)ψ(x)) = −i � f(x)
∂x
∂ψ(x)
− i � ψ(x)∂f(x)
∂x ∂x
� �
�f(x)�px − �p �
xf(x) ψ(x) =i � ∂f(x)
∂x ψ(x)
� f(x)�px − �p x � f(x) ≡
� �
�f(x), �px = i � ∂f(x)
∂x
Die Operatoren können nicht vertauschen! Wir erhalten eine Vertauschungsrelation. Wir
wissen, daß Ortsfunktionen und Impulse nicht gleichzeitig scharf gemessen werden können:
Allgemein: Gilt für zwei Operatoren eine Vertauschungsrelation, so gilt für die
zugehörigen Observablen eine Unschärferelation. Die beiden Oberservablen sind nicht simultan
scharf meßbar, es existiert keine gemeinsame Eigenfunktion.
Im Sonderfall f(x) = V (x) und f(x) = x nimmt die obige Vertauschungsrelation die
folgende Form an:
� �
�V (x), �px
∂V (x)
= i�
∂x
[�x, �p x ] = i�
.
⎫
⎪⎬
⎪⎭