Experimentalphysik III (Atomphysik)

84 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Abb. 4.18: Zur Berechnung
von ϱ(ν).
den Vektor �n mit:
n = |�n| =
�
= a
π
n 2 x + n2 y + n2 z
�
k 2 x + k2 y + k2 z
= a
π |�k| = 2aν
.
c
Da der Raum dicht mit Punkten belegt ist, gehen wir wiederum zum Kontinuum über,
d.h. wir betrachten das Volumen des Würfels. Dieses Volumen können wir in einer sehr
guten Näherung durch das Volumen einer Kugel mit dem Radius n = 2aν
c ersetzen. Da nur
positive nx , ny und nz vorkommen, füllt der ursprüngliche Kubus jedoch nur 1
8 der Kugel
aus. Damit
und
Z ′ (ν) = 1 4π
·
8 3 · n3 = 1 4π
·
8 3 · 8a3ν 3
c3 ϱ ′ (ν) = 1
a3 dZ ′ (ν)
dν
4πν2
= .
c3 4π
=
3 · a3ν 3
c3 Da jeder Frequenz ν zwei Wellen mit zueinander senkrechter Polarisationsebene
entsprechen, es also zwei Polarisationsmöglichkeiten gibt, folgt:
ϱ(ν) = 8πν2
c 3
In der klassischen Wellenoptik tragen E und B zum elektromagnetischen Feld bei, sie entsprechen
den Freiheitsgraden und gehen beide quadratisch in die Energie ein; also gilt nach dem Boltzmannschen
Gleichverteilungssatz:
E(ν, T )=2· 1
kT = kT .
2
Damit ergibt sich mit Hilfe der klassischen Theorie u(ν, T )dieFormelvomRayleigh–Jeans
u(ν, T )= 8πν2
kT .
c3 Im Photonenbild können wir die Zahl der Zustände (Zahl der Elementarzellen im Phasenraum)
viel schneller abzählen. �p ist der Impulsvektor, �r der Ortsvektor. Es interessieren nur die Beträge,
Orts– und Impulsraum sind unabhängig, so daß folgt:
mit de Broglie p = h hν
λ = c :
ϱ ′ (ν) = 1
V · d(n3 ) ν2
=4π
dν c3 n 3 =
4π V · 3
h3 n 3 = V 4π
3
· p3
· ν3
c 3
,
.
mit den 2 Polarisationsmöglichkeiten: