Experimentalphysik III (Atomphysik)

166 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
8.2 Der Drehimpulsoperator
Abb. 8.1: Reduktion des Zweikörperproblems
auf ein äquivalentes Einkörperproblem.
und den Definitionen
umschreiben in
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Der Drehimpuls von zwei Teilchen
� l = �r1 × �p 1 + �r 2 × �p 2
läßt sich mit der Koordinatentransformation
�r = �r 2 − �r 1
�R = m 1 �r 1 + m 2 �r 2
m 1 + m 2
(Relativkoordinaten)
(Schwerpunktkoordinaten)
�p = µ ˙ �r = m1 · m2 (
m1 + m2 ˙ �r 2 − ˙ �r 1 )= m1 M �p 2 − m2 M �p 1 ;(M = m1 + m2 )
�P = M ˙ � R = m1 ˙ �r1 + m 2 ˙ �r2 = �p 1 + �p 2
�l = (�r × �p)
� �� �
+ (
rel. Drehimpuls
� R × � P )
� �� �
im CM–System = 0
Damit läßt sich also das Zweiteilchenproblem wieder zurückführen auf ein Einteilchenproblem.
Einführung des Drehimpulsoperators: � l = �r × �p mit
Wir erhalten sodann
�
�lx = −i� y ∂
�
∂
− z
�
∂z ∂y
�ly = −i� z ∂
�
∂
− x
�
∂x ∂z
�lz = −i� x ∂
�
∂
− y
∂y ∂x
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�l 2 = � l 2 x + � l 2 y + � l 2 z
�r =(�x, �y,
�
�z)
�
∂ ∂ ∂
�p = −i� , ,
∂x ∂y ∂z
Für jedes Paar von Komponenten gilt eine Vertauschungsrelation. Denn mit Hilfe der Produktregel
ergibt sich
�lx �ly − �l �
ylx = −� 2
�
y ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2
+ yz − z2 − xy + xz
∂x ∂z∂x ∂y∂x ∂z2 ∂y∂z
−yz ∂2
�
∂2 ∂2 ∂2 ∂
+ xy + z2 − xz − x
∂x∂z ∂z2 ∂x∂y ∂y∂z ∂y
= −� 2
�
y ∂
�
∂
− x
∂x ∂y
= i� � l z .
.