Experimentalphysik III (Atomphysik)

∗ 3.2. Die Erregung elektromagnetischer Wellen 37
Die Rotation von � A ist durch � B festgelegt, über die Divergenz von � A kann man zweckmäßig
verfügen:
div � A = − 1
c2 ∂φ
∂t
Lorentz–Konvention.
Wie man ebenfalls durch Ausdifferenzieren prüfen kann, gilt:
rot rot�a = graddiv�a−∆�a |
� �
∇× � �∇×�a = � � �
∇ �∇�a −∇ 2 div grad b = ∆b |
�a
� �
∇�
�∇b = ∇ 2 b
∆=∇2 = ∂2 ∂2 ∂2
+ +
∂x2 ∂y2 Dann folgt
ϱ
=div
ε0 � �
E =div − grad φ − ∂ � �
A
∂t
∂z 2
⇐⇒ ∆φ − 1
c 2
Laplace–Operator
= − div grad φ − ∂
∂t div � A = −∆φ + 1
c2 ∂2φ ∂t2 ∂2φ ϱ
= −
∂t2 ε0 (3.2.1)
und rot � B =rotrot� A =graddiv� A − ∆ � A = − 1 ∂φ
grad
c2 ∂t − ∆ � A. (3.2.2)
Andererseits gilt nach Maxwell:
rot � B = µ 0 �j + ε 0 µ 0
∂
∂t � ∂
E = µ 0�j − ε0 µ 0
2A� ∂t2 − ε0 µ ∂
0 grad φ. (3.2.3)
∂t
aus (3.2.2) und (3.2.3) folgt ∆ � A − 1
c2 ∂2A� ∂t2 = −µ 0�j = −µ 0ϱ�v . (3.2.4)
Wir erhalten also vier Potentialfunktionen um die elektromagnetischen Felder � E und � B zu
beschreiben: Ein skalares Potential φ und ein Vektorpotential � A (bestehend aus 3 Funktionen).
Jetzt versteht man den Begriff Vektor ” potential“. Beide ” Potential“–gleichungen entsprechen
den vier Maxwellgleichungen, da sie ja aus ihnen folgen. Wie sehen die Lösungen aus?
• Ist φ zeitunabhängig: Aus (3.2.1) ergibt sich
∆φ = − ϱ
ε 0
Poisson–Gleichung der Elektrostatik
Wir haben hier nun den Spezialfall φ unabhängig von t, d.h.ϱ unabhängig von t. In der
Elektrostatik kennen wir aber φ aus der Kenntnis der Feldstärke � E = 1
4πε0
��r ′ )(mitr = | �
�r 0 − � �r ′ |).
� ϱ(P ′ )
r 2 dV ′ ( � �r 0 −