Experimentalphysik III (Atomphysik)

94 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
von ihnen besteht vielmehr aus mehreren Komponenten. Aus derartigen Beobachtungen leitete
Sommerfeld eine Erweiterung des Bohrschen Modells ab. Sommerfeld berücksichtigte (1916),
daß ein Elektron im Coulombfeld nicht nur auf Kreisbahnen, sondern auch auf Ellipsenbahnen
umlaufen kann (wie die Planeten um die Sonne).
Für die Gesamtenergie W = W pot + W kin ergibt
sich klassisch (Keplerproblem)
W = − 1 Ze
2
2
4πε0a .
Die Gesamtenergie W ist nur von der großen Halbachse
abhängig!
Abb. 5.7: Bewegung des Elektrons auf Ellipsenbahnen
um den Kern.
Wir führen nun die generalisierten Koordinaten q1 = ϕ(t); ˙ϕ(t) =ω; q2 = r(t) ein, und schreiben
die Gesamtenergie als
Wkin = m
2 v2 = m
2 (˙r2 +(r ˙ϕ) 2 )= m
2 (˙r2 +(rω) 2 ) ,
damit ergeben sich die generalisierten Impulse zu
pϕ = ∂Wkin ∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = mr 2 ω = L = const.
und pr = ∂Wkin = m ˙r.
∂ ˙r
Berücksichtigt man jetzt die Quantisierungsbedingung, so läßt sich das Wirkungsintegral
schreiben als:
�
2
W kin dt =
�
p ϕ dϕ + � p r dr
= n ϕ h + n r h
= mr 2 �
ω2π + prdr ganzzahlig.
n ϕ ,n r
Der Sonderfall der Bohrschen Kreisbahn bedeutet r = const. und somit p r =0=⇒ n r = 0 und
2 � W kin dt = n · h. Allgemein gilt nun
n = n ϕ + n r
n = Bohrsche Hauptquantenzahl.
Die Sommerfeldsche Rechnung liefert (mit a0 = 4πε0�2 : 1. Bohrscher Radius).
me2 1. W = − Z2 Rhc
(n ϕ + n r )
2. a = a 0
Z (n ϕ + n r )2
Ze
= −1 2 2
2
4πε0a