Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 155
Dann läßt sich zeigen, daß mit dieser Forderung (7.5.2) nur erfüllbar ist mit
λ = l(l +1) l ganzzahlig 0,1,2,. . .
Um das besser einsehen zu können, machen wir für Y (ϑ, ϕ) einen weiteren Separationsansatz
Y (ϑ, ϕ) =Θ(ϑ) · Φ(ϕ) .
Setzen wir diesen Separationsansatz in (7.5.2) ein, so erhalten wir mit m 2 als weiterer
Separationskonstanten:
d 2 Φ(ϕ)
dϕ 2 + m2 Φ(ϕ) =0 Azimutalgleichung , (7.5.3-a)
sin ϑ d
�
sin ϑ
dϑ
dΘ(ϑ)
�
+(λsin dϑ
2 ϑ − m 2 )Θ(ϑ) =0 Polargleichung . (7.5.3-b)
Die Polargleichung geht mit der Substitution χ =cosϑ und für m =0über in die Legendresche
Differentialgleichung. Ihre Lösungen sind die Legendreschen Polynome
m =0 Θ0 l (ϑ) =a0 l Pl (cos ϑ) mit λ = l(l +1) l =0, 1, 2,...
Die ersten vier Polynome lauten
P0 (cos ϑ) =1 P2 (cos ϑ) = 1
2 (3 cos2 ϑ − 1)
P1 (cos ϑ) =cosϑ P3 (cos ϑ) = 1
2 (5 cos3 ϑ − 3cosϑ)
Für m�= 0 ergeben sich die zugeordneten Legendreschen Polynome
m �= 0 Θ m l (ϑ) =am l
m Pl (cos ϑ) mit −l ≤ m ≤ +l
Sie hängen mit den Legendreschen Polynomen P l (cos ϑ) über die Beziehung
Die Koeffizienten a m l
P m
1
l (cos ϑ) =(−1)m
2ll! (1 − cos2 ϑ) m
2
d l+m (cos 2 ϑ − 1)
(d cos ϑ) l+m
ergeben sich aus der Normierungsbedingung
� π
0
Θ m∗
l ′ (ϑ) · Θm l (ϑ)dϑ = δ ll ′
zu a m l =
�
2l +1
2
(l −|m|)!
(l + |m|)!
Die Azimutalgleichung ergibt als Lösung die ” ebene Welle“
Φ m (ϕ) = 1
√ 2π e imϕ .
zusammen.