Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 149
1. diskrete Energien E n ,
2. diskrete Wellenlänge λ n ,alsostehende Wellen.
Diese Diskretheit ist Folge der Randbedingungen.
Am folgenden Beispiel können wir die Ergebnisse von Kapitel 7.3 üben
Abb. 7.12: Energiezustände die das
Teilchen aufgrund der Randbedingungen
annehmen kann.
Abb. 7.13: Mögliche Wellenfunktionen
des im Kasten
eingesperrten Teilchens.
1. Örtliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ n (x)| 2 dx :
Die Maxima sind dem Bild zu entnehmen: •
2. Erwartungswert 〈x〉 = 0, da die Maxima symmetrisch zu x =0
Es ergibt sich formal:
oder
�
〈x〉 =
+ a
2
− a
2
ψ ∗ n (x)xψ 2
n (x)dx =
〈x〉 = 2
�
a
+ a
2
− a
2
a
�
+ a
2
− a
2
x cos 2 (...) dx,
ψ − 4
ψ + 3
ψ − 2
ψ + 1
(x) =
(x) =
(x) =
(x) =
x sin 2 (...)dx =0
� 2
a i sin � 4 π
a x�
� 2
a cos � 3 π
a x�
� 2
a i sin � 2 π
a x�
� 2
a cos � π
a x�
da x eine ungerade Funktion ist, cos 2 und sin 2 gerade Funktionen sind und somit das
Integral gleich Null ist.
3. Ortsunschärfe ∆x : Sie muß stark mit n zunehmen!
(∆x) 2 = 〈x 2 〉−〈x〉 2
=
����
=0
2
a
�
+ a
2
− a
2
x 2 sin 2 (...)dx = a2
�
1 −
12
6
n2π2 �