Experimentalphysik III (Atomphysik)

144 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Diese Relation besagt, daß man hinreichend lange messen muß, um eine Energie scharf zu
bestimmen; insbesondere unendlich lange, will man sie exakt messen. Es können deshalb
nur stationäre Zustände exakt gemessen werden.
Bei einem Zerfallsvorgang steht aber nur die mittlere Lebensdauer τ des Zustandes zur
Zeitmessung zur Verfügung. Also muß bei einem nichtstabilen Zustand die Energie prinzipiell
unscharf sein. Das Energieniveau hat eine endliche Breite:
∆E · τ ≈ � .
z.B.: H–Atom: τ ≈ 10 −8 s (elektrische Dipolübergänge)
� ∆E = �
τ = 6.6 · 10−16 eVs
10−8 =6.6 · 10
s
−8 eV natürliche Linienbreite .
7.3 Wahrscheinlichkeit für Ort und Impuls eines Teilchens,
quantenmechanischer Erwartungswert
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Impulse im Wellenpaket berechnen. Ein
derartiges Wellenpaket hat nach (7.2.1) die allgemeine Gestalt
ψ(x) =
�
+∞
−∞
Ae −iωt e +ikx dk =
�
+∞
−∞
a k e +ikx dk .
Um die Koeffizienten a k mit der Wahrscheinlichkeit in Verbindung zu bringen, müssen wir die
Wellenfunktion e +ikx im unendlich ausgedehnten Raum normieren. Diese Rechnung wollen wir
hier nicht durchführen und geben sofort das Ergebnis an:
ψ(x) =
�
+∞
−∞
1 pxx
c(px ) √ e
i � dpx .
2π�
Diese Gleichung bedeutet: Wir haben ein Wellenpaket ψ(x) aus ebenen Wellen aufgebaut, die sich
in ihren k x –Werten, d.h. in den Impulsen p x unterscheiden, indem wir diese Wellen aufsummiert
(aufintegriert) haben. Wenn wir das Wellenpaket ψ(x) auf ein Beugungsgitter fallen lassen, wird
das weiße Licht“ des Wellenpakets in seine Spektralanteile, also seine ebenen Wellen
”
i pxx
� e+ √ ,
2π �
zerlegt. c(p x ) gibt also das Gewicht an, mit dem die Welle mit k x ,bzw.p x , im Wellenpaket ψ(x)
enthalten ist. Das bedeutet:
So wie |ψ(x)| 2 dx die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Teilchen am
Ort zwischen x und x + dx zu finden,
gibt |c(p x )| 2 dp x die Wahrscheinlichkeit an, im Wellenpaket ein
Teilchen mit dem Impuls zwischen p x und p x +
dp x zu finden.