Experimentalphysik III (Atomphysik)

192 Kapitel 10. Atome in äußeren Feldern
und deshalb im Gegensatz zu Kapitel 10.1
�µ J = − µ B
�
Abb. 10.3: Vektordiagramm zur
Berechnung des Zeeman–Effekts.
� �
g �
lL + gsS� = − µ � �
B �L +2S� =
�
−µ � �
B �S + J�
mit gL = 1und gS =2.
�
Die beiden Vektoren � L und � S koppeln zu � J unter dem Einfluß
von V LS . Dies ist die stärkere der beiden magnetischen Wechselwirkungen.
Sie übt ein Drehmoment auf die beiden Vektoren
�L und � S aus, so daß deren Erwartungswerte, genau wie der
analoge klassische Vektor, um die Richtung der Bewegungskonstanten
� J präzedieren, mit einer Frequenz ω L = V LS /�, die
durch die Wechselwirkungsenergie gegeben ist. Das ist eine relativ
schnelle Präzessionsbewegung. Die Kopplung der Drehimpulsvektoren
ist in Abb. 10.3 nach oben hin aufgetragen. Nach
unten sind in umgekehrter Richtung die zugehörigen Vektoren
der magnetischen Momente eingezeichnet.
Da nun wegen des g–Faktors des Elektrons der Spinvektor � S
mit dem Faktor 2 zu �µ J beiträgt, steht zwar �µ L in Richtung
von � L, und �µ S in Richtung von � S,nichtaber�µ J in Richtung
von � J, sondern hat die eingezeichnete Richtung und Länge.
Da � L und � S mit fester Phase gekoppelt sind, präzediert auch �µ J schnell um die (schwach gezeichnete)
Richtung von � J. Die Komponente von �µ J in Feldrichtung zeigt daher eine schnelle
Variation und wir können zur Berechnung der magnetischen Energie den zeitlichen Mittelwert
�µ J über viele Präzessionsumläufe nehmen. Er ist, wie die Figur zeigt, gleich der Projektion von
�µ J auf die Richtung von � J. Es ist also �µ J der effektive Vektor, auf den � B wirkt. Das resultierende
Drehmoment führt zu einer Präzession von � J um die z–Achse, die aber wegen E B ≪ V LS nun
vergleichsweise langsam ist. Die hier verwendete Näherung für ein schwaches Feld besteht also
darin, daß man während eines langsamen Umlaufs von � J um � B über die vielen schnellen Umläufe
von �µ J um � J mittelt. Das gemittelte magnetische Moment hat den Betrag:
�
�µ J = |�µ J |·cos �µ J , � �
J · � J
| � J| = |�µ J |
= − µ B
�J 2
�
( � L +2� S)( � L + � �
S)
�
�µ J
|�µ J | · � J
· � J = − µ B
�J 2
| � J |
�
· � J
| � 1
=
J| J 2
�
�µ J · � �
J · � J
�
L 2 + � L · � S +2 � L · � S +2S 2� � J.
Mit � J = � L + � S � J 2 = L2 + S2 +2� L · � S folgt:
�µ J = − µ B
�J 2
�
L 2 +2S 2 +3 1
2 (J 2 − L 2 − S 2 =
�
) �J
− µ B
�J 2
�
J 2 + 1
2 (J 2 + S 2 − L 2 =
�
) �J
− µ �
B
1+
�
J 2 + S2 − L2 2J 2
�
�J
Wir gehen nun zum Erwartungswert über, und erhalten, indem wir wie früher statt der Opera-