Experimentalphysik III (Atomphysik)

170 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Suchen wir nach einem Formalismus, der uns die obigen Beziehungen automatisch liefert, so
stellt sich heraus, daß dies am besten mit Matrizen zu bewerkstelligen ist. Wir schreiben für die
Spinfunktionen
1 ms=+
χ↑ = χ 2 =
� �
1
0
1 ms=−
χ↓ = χ 2 =
� �
0
.
1
Diese Spinfunktionen sind Eigenfunktionen des Spinoperators � s 2 und �s z . Aus den Eigenwertgleichungen
für ψ wird dann
�s 2 χ ↑↓ = s(s +1)� 2 χ ↑↓
�s z χ ↑↓ = m s �χ ↑↓
�s 2 und �s z sind nun 2 × 2 Matrizen, die sogenannten Pauli–Matrizen“.
”
Die Wellenfunktion des Wasserstoff–Atoms schreibt sich dann
ψn,l,ml,ms = R ml
n,l (r) · Yl (ϑ, ϕ) · χ↑↓ (�s ) .
Sie ist durch die Hauptquantenzahl n, die Bahndrehimpulsquantenzahl l, die Magnetquantenzahl
m l und die Spinquantenzahl m s gekennzeichnet.
Abb. 8.2: Vektormodell
zur Spin–Bahn–
Kopplung.
Abb. 8.3: Präzession von � l und �s um �j.
Unter Einfluß eines äußeren B–Feldes in
z–Richtung präzediert j um die z–Achse.
,
Nun wollen wir die durch die Spin–Bahn–Wechselwirkung verursachte
Änderung des Energieeigenwertes eines wasserstoffähnlichen oder
Einelektronenatoms berechnen. Die Energieeigenfunktion ψ n,l,ml,ms
ist gleichzeitig Eigenfunktion von � l 2 , � s 2 , � l z und �s z , da diese Operatoren
ja nur auf ϑ, ϕ und �s wirken. Wie wir in Kapitel 6.5 gesehen
haben koppelt � l und �s zu �j. Da j z = l z + s z ist, ist ψ n,l,ml,ms auch
Eigenfunktion zu �j z :
(�j z =( � l z + �s z ))ψ n,l,ml,ms =(m l + m s )�ψ n,l,ml,ms = m j �ψ n,l,ml,ms
Sie ist aber keine Eigenfunktionen zu � j 2 !
Dies geht auch sofort aus Abbildung 8.2 hervor. Da ja l x
und l y mit l z nicht gleichzeitig scharf meßbar sind, wird die
Spitze von � l in wiederholten Messungen irgendwo auf dem
Kegel von � l um die z–Achse angetroffen, ebenso ist die Spitze
von �s irgendwo auf dem Kegel �s um die z–Achse. Die Länge
von |�j | wird daher in wiederholten Messungen verschiedene,
um den Mittelwert fluktuierende Werte ergeben.
Andererseits haben wir in Kapitel 6.5 gesehen, daß �j = � l +�s
eine Konstante der Bewegung ist, und daß � l und �s um so
schneller um �j präzidieren, je größer die Kopplungsenergie
V ls = ζ(r) · ( � l · �s) ist. Dann geht aber die ” Schärfe“ von l z
und s z verloren (vgl. Abbildung 8.3).
Quantenmechanisch bedeutet dies, daß man Energieeigenfunktionen konstuiert, die gleichzeitig
Eigenfunktion von � j 2 ,�j z , � l 2 und � s 2 sein müssen. Diese Funktionen sind die linearen Kombinationen
der einfachen Produktfunktionen mit allen möglichen m l – und m s –Werten. Diese haben