Experimentalphysik III (Atomphysik)

172 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
i� ∂
ψ(x, t) =E · ψ(x, t) .
∂t
Dies entspricht der Eigenwertgleichung zum Energieoperator � E = i� ∂
∂t .
Jetzt übersetzen wir den nichtrelativistischen Energiesatz in die Operatorschreibweise
E = H = E kin + V (x).
Mit dem in (8.1.1) besprochenen Hamiltonoperator erhält man
i� ∂
∂t ψ(x, t) = � Hψ(x, t) =
�
− �2
2m
∂2
· + V (x)
∂x2 �
· ψ(x, t) ,
die zeitabhängige Schrödingergleichung.
i − Et �
Ist V (x, t) =V (x), läßt sich ψ(x, t) separieren in ψ(x, t) =ψ(x) · e , damit erhält man eine
harmonische Schwingung (stehende Welle):
�
i − Et �
ψ(x) · E · e = − �2 ∂
2m
2 �
i − Et
�
+ V (x) ψ(x) · e Zeitunabhängige Schrödingergleichung
∂x2 Übersetzt man den relativistischen Energiesatz in Operatorschreibweise E 2 = p 2 c 2 + m 2 0 c4
bzw. dreidimensional
−�
1
c 2
2 ∂2
�
2 ∂2
−�
∂x2 + m20 c2
�
c 2 ψ(x, t)
ψ(x, t) =
∂t2 ∂2 � �
m0c � �
2
ψ(�r, t) = ∆ − ψ(�r, t) Klein–Gordan–Gleichung
∂t2 �
Die Quantenmechanik ist eine lineare Theorie. Also hat Dirac versucht, die Klein–Gordan–
Gleichung zu linearisieren, indem er im Energiesatz auf der rechten Seite aus jedem Summanden
die Wurzel gezogen hat:
i� ∂
∂t ψ(�r, t) =(c�αi�� ∇ + βm 0 c 2 )ψ(�r, t) Dirac–Gleichung
Die Lösung der Dirac–Gleichung für das H–Atom liefert den richtigen Ausdruck für die j–
entarteten Energieterme, d.h. den Ausdruck, den wir uns früher aus Berücksichtigung der relativistischen
Masse und der Feinstruktur zusammengebaut haben, also die Feinstrukturformel des
Wasserstoffs. Sie liefert aber natürlich nicht die Lambshift.
8.5 Erhaltungssätze in der Quantenmechanik, Parität
Die quantenmechanische Definition einer Erhaltungsgröße lautet: Eine physikalische Größe ist
zeitlich konstant, wenn sich der Erwartungswert des zugehörigen Operators zeitlich nicht ändert.
〈 � A〉 = � ψ ∗ � Aψ dx = const., wenn
d〈 � A〉
dt =
� ∗ ∂ψ
∂t � �
Aψ dx +
ψ ∗ ∂ � A
∂t ψdx+
�
ψ ∗ A� ∂ψ
dx =0 .
∂t