Experimentalphysik III (Atomphysik)

120 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Mit dem Biot–Savartschen Gesetz ergibt sich das Magnetfeld zu
Abb. 6.16: Zur Berechnung des Magnetfeldes
am Ort des Elektrons.
mit I = Ze 2πr
T ; v = T
� 2πr · I = Zev.
d � Bl = µ 0 Id�s × �r
4π r3 �B l = µ 0 �s 0 × �r
4π r3 I
= µ 0 × �r
Ze�v
4π r3 0
�s o × �r
r 3 Ids
= µ 0
4π
�2π
ds = µ 0 �s 0 × �r
4π r3 2πrI
Die elektrische Feldstärke des atomaren Zentralfelds ist � E = − Ze �r
. Setzen wir dies ein, so
4πε0 r3 folgt:
�B l = −ε0 µ 0 (�v × � E)=− 1
c2 (�v × � E) .
Die Feldstärke läßt sich durch das Potential ausdrücken:
damit
�F = −e � dV (r)
E = − ·
dr
�r
r ,
�B l = − 1
ec 2 r
dV (r)
(�v × �r)
dr
und mit dem Drehimpuls � l = �r × m�v = −m�v × �r schließlich
�B l = 1 1 dV (r)
· ·
emc2 r dr
�l. Die Rücktransformation ist kompliziert: Das Ruhesystem des Elektrons dreht sich bei jedem Umlauf
um seine Achse: Thomaspräzession. Die Transformation muß lorentzinvariant durchgeführt
werden. Diese Transformation ergibt den Faktor 1
2 , den Thomasfaktor. Damit erhalten wir
endgültig:
�B l =
1
2emc2 1 dV (r)
·
r dr
�l . (6.5.1)
Das durch die Relativbewegung von Kern und Elektron erzeugte Magnetfeld B l ist also propotional
und parallel zum Bahndrehimpuls � l des Elektrons. In diesem Magnetfeld der Bahnbewegung
stellt sich nun das magnetische Spinmoment und — damit verbunden — der Spin ein. Die
Wechselwirkungs–Energie zwischen der Bahn– und Spinbewegung ergibt sich mit (6.4.1) zu
V ls = g s
4m 2 c 2
Vls = −�µ s · � �
Bl = −
1
r
−g s
e
2m �s
� � 1
2emc2 1 dV (r)
·
r dr
� �
l
dV (r)
(
dr
�l · �s )=ζ(r)( �l · �s ) mit ζ(r) = gs 4m2c2 1 dV (r)
. (6.5.2)
r dr