Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 157
Abb. 7.21: Quadrate der Winkelfunktion als Polardiagramm.
2. Jetzt betrachten wir die Lösung der Radialgleichung (7.5.1).
Mit der Separationskonstanten λ = l(l+1), deren Wert aus der Lösung der Winkelgleichung
folgte, ergibt sich
d 2 u(r)
dr 2
2µ
+
�2 �
E − V (r) −
l(l +1)�2
2µr2 �
u(r) =0 (7.5.5)
d2u(r) dr2 2µ
+
�2 � l
E − Veff (r) � u(r) =0
Dies ist die eindimensionale Schrödingergleichung mit dem effektiven Potential
V l
l(l +1)�2
eff (r) =V (r) −
2µr2 = V (r) − Vl (r).
Die Bedeutung des Zusatzpotentials Vl können wir aus einer klassischen Analogie erschließen.
Ein Teilchen der Masse µ, das auf einer Kreisbahn rotiert, hat das Zentrifugalpotential
Abb. 7.22: Zustandekommen des effektiven
Potentials.
Vrot (r) = L2
2J = J 2ω2 µ
=
2J 2 r2ω 2
worin J = µr 2 das Trägheitsmoment und � L = J�ω der
Drehimpuls ist. Das legt nahe, V l als Zentrifugalpotential
aufzufassen mit dem Drehimpuls � L 2 = l(l +1)� 2 .
Für Veff (r) =− 1e2
4πε0 · r
�
dV (r) �
folgt mit �
dr
� r=rl
+ l(l +1)�2
2µr 2
=0
r l = l(l +1) 4πε 0 �2
1e 2 µ = l(l +1)a 0
mit a 0 = als den 1. Bohrschen Radius.