Experimentalphysik III (Atomphysik)

146 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
ichung lösen. Aber diese Wellengleichung muß irgendwie dem Dualismus Welle–Teilchen Rechnung
tragen, d.h. sie muß einerseits aus der Wellengleichung hervorgehen
andererseits die Relationen
∂2ψ(x, t)
∂x2 = 1
v2 ·
Ph
∂2ψ(x, t)
∂t2 E = �ω, p = �k und E = p2
+ V (x) (nicht relativistisch)
2m
enthalten.
Nun spalten wir die Wellenfunktion so auf, daß der ortsabhängige Teil separiert vom zeitabhängigen
Term steht, also
ψ(x, t) =ψ(x) · e −iωt
Dies läßt sich als stehende Welle auffassen. Dann folgt aus der obigen Wellengleichung mit Hilfe
der separierten Wellenfunktion und deren partiellen Ableitungen:
∂ 2 ψ(x, t)
∂t 2 = ψ(x)(−ω 2 )e −iωt
v 2 Ph · ∂2ψ(x, t)
∂x2 = v2 Ph · d2ψ(x) dx2 · e−iωt 0= d2 ψ(x)
dx 2
woraus sich dann mit ω2
v2 =
Ph
ω2
ω2¯λ 2 = k2 = p2
�
d 2 ψ(x)
dx 2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
ω2
+
v2 · ψ(x) =
Ph
d2ψ(x) dx2 + k2ψ(x) 2 und mit E = p2
2m
2m
+ (E − V (x)) ψ(x) =0
�2 − ω 2 ψ(x) =v 2 d
Ph
2ψ(x) dx2 + V (x)
die eindimensionale zeitunabhängige Schrödingergleichung ergibt.
Wir werden es meist mit dem stationären, d.h. zeitunabhängigen Fall zu tun haben, nämlich
immer dann, wenn wir nach Energiestufen, Dichteverteilungen oder ähnlichem fragen. Nur für
die Behandlung von Übergangswahrscheinlichkeiten wird die zeitabhängige Schrödingergleichung
benötigt, der wir uns erst in Kapitel 8.4 zuwenden werden.
Ist V (x) bekannt, dann läßt sich die Differentialgleichung lösen. Die Schrödingergleichung ist
eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Ihre Lösungen müssen also die Bedingungen erfüllen, die
wir uns bereits aus statistischer Interpretation überlegt hatten:
• ψ(x), dψ(x)
dx eindeutig und stetig im Raum.
• ψ(x) geht hinreichend schnell gegen Null für x →∞, was soviel heißt, daß weit außerhalb
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens Null sein soll, was physikalisch natürlich
sinnvoll ist, da wir es ja mit gebundenen Teilchen (Teilchen im Potentialfeld) zu tun haben.
Diese Eigenschaften haben zusammen mit der Form der Differentialgleichung wichtige allgemeine
Konsequenzen für die Lösungsfunktionen.