Experimentalphysik III (Atomphysik)

122 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Analog zu Kapitel 6.4 gilt j =max( jz
)=max(mj ).
�
Nun haben wir aber das Problem, daß aufgrund der Präzessionsbewegung die z–Komponenten
von � l und �s nicht beobachtbar sind. Man sagt auch die z–Komponenten von � l und �s sind
verschmiert, d.h. die Kenntnis von m l und m s geht verloren, da sie sich bei der Präzession
zeitlich stets ändern. Um nun m j zu berechnen, bedienen wir uns folgenden Tricks: Wir denken
uns die Spin–Bahn–Kopplung ausgeschaltet. Dann haben wir also keine Präzession mehr und
m l und m s sind gute Quantenzahlen, d. h. sie sind beobachtbar. Wir gewinnen m j nun durch
einfache Addition von m l und m s . Damit ergibt sich für den Fall, daß
l =0,m l =0=⇒ m s
l =1,m l =1, 0, −1 =⇒ m s
l =2,m l =0, ±1, ±2 =⇒ m s
1 = 2 � m 1
j = 2
m s = − 1
2 � m j
= 1
2 � m j
m s = − 1
2 � m j
= 1
2 � m j
m s = − 1
2 � m j
= 3
2
= 1
2
= 5
2
= 3
2
, 3
2
, 1
2
= − 1
2
1 1 , 2 , − 2
1 3 , − 2 , − 2
, 1
2
, − 1
2
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
1 3 , − 2 , − 2
3 5 , − 2 , − 2
� j = 1
2
3 � j = 2 und j = 1
2
⎫
⎬
⎭
5 � j = 2 und j = 3
2
Die Quantenzahl j =max(mj ) kann offenbar nur die beiden Werte j = l ± 1
2 , entsprechend der
relativen Orientierung von � l und �s ( ” Parallel“: j = l + 1
2 , ”
mj
5
2
3
2
1
2
− 1
2
− 3
2
− 5
2
mj
Abb. 6.18: Kopplung von � l und �s zu �j;
Orientierungsmöglichkeiten von �j.
�s
z
�j
� l
�s
1
Antiparallel“: j = l − ) annehmen.
Bei ” eingeschalteter“ Spin–Bahn–
Kopplung präzedieren � l und �s um �j.
Bei dieser Präzession geht die Kenntnis
von m l und m s verloren. Gute Quantenzahlen
(also Beobachtungsgrößen, die
zeitlich konstant sind) sind jetzt | � l | 2 , |�s | 2 ,
|�j | 2 und m j . Wegen j z = m j · � wird also
der Öffnungswinkel des Präzessionskegels
durch die Magnetquantenzahl m j bestimmt,
d.h. weiter, daß es auch für j eine
Richtungsquantelung gibt.
Vorweg sei jedoch erwähnt, daß für optische Übergänge die Auswahlregel ∆l = ±1 ,∆j =0, ±1
gilt, wobei der Übergang von j =0zuj = 0 jedoch verboten ist. Diese Auswahlregel steht hier
als aus den Spektren abgeleitetes empirisches Ergebnis und wird erst später einsichtig.
Abb. 6.19: Vektorielle
Addition der Drehimpulse
zum Gesamtdrehimpuls �j.
Jetzt läßt sich die Kopplungsenergie berechnen. Mit Hilfe des Kosinussatzes
gilt
|�j | 2 = | �l | 2 + |�s | 2 +2�l · �s
� �l · �s =
�2 [j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)]
2
und daraus ergibt sich mit (6.5.2)
2