Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.4. Zeitabhängige Schrödingergleichung 171
folgende Gestalt:
ψ = n,l,j,mj � �
c(l, s, ml ,ms , | j, mj )Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, φ)χms (�s) .
ml ms
Die Koeffizienten c(l, s, ml ,ms | j, mj ) heißen Clebsch–Gordan– oder Drehimpulskopplungskoeffizienten.
Sie stellen einfache Zahlenwerte (z.B.: 1 2
2 , 3 ,...) dar und müssensogewählt sein, daß
die Dreiecksrelation“ �j =
” �l + �s gilt.
Die so konstruierten Wellenfunktionen ψ sind dann Eigenfunk-
n,l,j,mj
tionen zu � H, � l2 , � s2 , � j2 , �j z , aber nicht mehr zu �l z und �s z ,dajaüber ml und ms summiert wurde!
Abb. 8.4: Dreiecksrelation.
Wegen |�j | 2 = | �l | 2 + |�s | 2 +2�l · �s gilt auch � j2 = � l2 + � s2 +2� l · s, also� l · s = 1
2 ( � j2 − � l2 − � s2 ). Deshalb
sind die Eigenfunktionen zu � j2 , � l2 und � s2 , d.h. die ψ auch Eigenfunktionen zu n,l,j,mj � l · s, damit
zu einem Hamiltonoperator, der einen Spin–Bahn–Kopplungsterm enthält.
Die Wellenfunktionen ψ beschreiben die Zustände der Feinstrukturaufspaltung! Die Aufs-
n,l,j,mj
paltungsenergie ergibt sich als Erwartungswert der in (6.5.2) ausgerechneten Wechselwirkungsen-
ergie Vls = −�µ s · � Bl = gs
4m2c2 · 1
r
· dV (r)
dr (� l · �s) =ζ(r)( � l · �s) mitV (r) = −e2
4πε0r .
∆Els = 〈Vls 〉 = � ψ∗ n,l,j,mj Vlsψn,l,j,mj dτ
=
�2π
�π
0
0
η ∗ l,j,mj (ϑ, ϕ, �s)(� ls)η l,j,mj (ϑ, ϕ, �s)sinϑdϑdϕ
·
�
0
∞
R ∗ n,l (r)� ζ(r)R n,l (r)dr
� �� � � �� �
= 〈 � ls〉 ·
gse2 16πε0m2 �
1
·
c2 r3 =
�
�
2
(j(j +1)− l(l +1)− s(s +1))
2
·
1
...·
a3 ·
0
1
n3 1
l(l + 1
2 )(l +1)
Damit ist die Feinstrukturaufspaltung aufgrund der Spin–Bahn–Kopplung quantenmechanisch
erklärt.
8.4 Zeitabhängige Schrödingergleichung
Bisher behandelten wir nur stationäre (zeitunabhängige) Probleme, also stehende Wellen. Will
man auch zeitabhängige Probleme behandeln, brauchen wir eine Gleichung, die berücksichtigt,
daß ψ von t abhängen kann.
Ausgangspunkt ist wieder die Gleichung für die ebene Welle:
ψ(x, t) =Ae i (pxx−Et) � ;
∂ψ(x, t)
∂t
= − i
E · ψ(x, t)
�