Experimentalphysik III (Atomphysik)

164 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Fassen wir nochmal zusammen:
Der quantenmechanische Erwartungswert 〈 � A〉 für die Observable a ergibt sich durch
Bildung des Überlappungsintegrals der Zustandsfunktion ψ(x) vor der Messung mit
der Zustandsfunktion � Aψ(x) nach der Messung. Der Erwartungswert wird zum
Eigenwert, wenn ψ(x) Eigenfunktion zu � A ist.
Mit �x = x usw. sind die in (7.3.1) definierten Erwartungswerte eingeschlossen.
Damit gilt allgemein:
Meßwert
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Messung von a ⇔ Anwendung des Operators � A .
� � �
∗ ψ (x) �Aψ(x) dx =EigenwertA,
wenn ψ(x) Eigenfunktion zu � �
A ist
� � �
∗ ψ (x) �Aψ(x) dx = Erwartungswert 〈 � A〉,
wenn ψ(x) nicht Eigenfunktion zu � A ist
scharfe Werte
�
Mittelwert statistisch
verteilter Werte
Damit sind wir nun in der Lage anzugeben, welche Eigenschaften die quantenmechanischen
Operatoren erfüllen müssen:
1. Wegen Linearität der Schrödingergleichung und der Superpositionsmöglichkeit der Wellenfunktion,
also ψ(x) =c 1 ψ 1 (x)+c 2 ψ 2 (x) müssen Operatoren linear sein, d.h.
�A(c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 )=c 1 � Aψ1 + c 2 � Aψ2
2. Da die Meßwerte natürlich reell sind, müssen die Eigenwerte und Erwartungswerte reell
sein, es gilt also
〈 � �
A〉 = ψ ∗ ( � ��
Aψ) dx =
ψ ∗ ( � �∗ �
Aψ) dx = ( � Aψ) ∗ ψdx .
Operatoren, die diese Eigenschaft besitzen, heißen hermitesche Operatoren.
Quantenmechanische Operatoren müssen lineare, hermitesche Operatoren sein.
Was passiert nun, wenn man auf die Eigenfunktion ψ(x) zum Operator � A zusätzlich einen anderen
Operator � B anwendet? Es ergeben sich wiederum zwei Fälle:
1. Fall: ψ(x) ist Eigenfunktion sowohl zu � A als auch zu � B. Nach dem Bisherigen heißt dies:
Eine Messung der Observablen a und der Observablen b führt jeweils zu scharfen Werten
(z.B. Impuls und kinetische Energie einer ebenen Welle), da sich die Zustandsfunktion ψ(x)
durch die Messung beider Observablen (�= Anwendung beider Operatoren) nicht verändert.
Was bedeutet das für die beiden Operatoren?
�Aψ = A · ψ
�Bψ = B · ψ
� �B � Aψ = � B(A · ψ) =A( � Bψ) =ABψ
�A � Bψ = � A(B · ψ) =B( � Aψ) =BAψ
�A � Bψ − � B � Aψ =0
�
.