Experimentalphysik III (Atomphysik)

Kapitel 8
Quantenmechanische Operatoren
8.1 Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte,
Vertauschungsrelationen
Wir beginnen zuerst mit dem quantenmechanischen ” System“:
paralleler Teilchenstrom ⇔ ebene Welle: ψ(x, t) =Ae i (pxx−Et) � .
Wenn wir in diesem System in einer Einzelmessung den Impuls messen, werden wir immer den
gleichen, scharfen Wert px = �kx finden.
Frage: Wie kann man dieses Ergebnis in einer quantenmechanischen Rechnung ausdrücken?
Wir bilden die Ableitung von ψ(x, t) nach x
∂ψ(x, t)
∂x
i
=
� px i (pxx−Et) i
� Ae =
� px und mit (−i 2 ) durchmultipliziert erhalten wir
· ψ(x, t) ⇐⇒ �
i
−i� ∂
∂xψ(x, t) =px · ψ(x, t) .
∂
∂x ψ(x, t) =pxψ(x, t)
Mathematisch ist dies eine Operatorgleichung für ψ(x, t): Suche die Funktion ψ(x, t) für die
diese Operation erfüllt ist (Analog ¨x = −ω2x ⇔− ∂2
∂t2 x(t) =ω2 · x(t) � x = x0 cos ωt). Man
nennt
ψ(x, t) Eigenfunktion zum Impulsoperator �p x ≡−i� ∂
∂x
und px den Eigenwert = scharfer Messwert.
�
In der Literatur wird oft schon i
äquivalent.
Wir betrachten als zweites System
∂
∂x
als Impulsoperator bezeichnet. Beide Schreibweisen sind
Wasserstoff–Atome im Grundzustand ⇐⇒ Wellenfunktion ψ 0 (x) .
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