Experimentalphysik III (Atomphysik)

6.3. Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses 115
Abb. 6.8: Richtungsquantelung: für die z–Komponente
des Drehimpulses � L sind nur diskrete Werte erlaubt.
Darstellung nach Sommerfeld.
cos ϑ = n α �
n ϕ �
Abb. 6.9: Richtungsquantelung in der Quantenmechanik.
cos ϑ =
m l �
� l(l +1)�
Wir sehen also, daß die Quantisierung des Vektors � L im Raum nicht beliebig ist, d.h. daß die
Ellipsenbahnen der Elektronen bei einem äußeren Magnetfeld (das eine Vorzugsrichtung angibt)
nicht jede Lage im Raum einnehmen können (Richtungsquantelung).
Wir verlassen nun die Sommerfeld–Theorie, die uns ja nur die halbe Wahrheit lieferte, und
werden im folgenden nur noch mit den Ergebnissen der Quantenmechanik weiterrechnen.
Da die z–Komponente des Drehimpulses Lz gequantelt ist, Lz = ml�, ist auch die z–Komponente
des magnetischen Dipolmoments µ z aufgrund des magnetomechanischen Parallelismus (�µ =
+γ� L) gequantelt:
µ z = g l · m l · µ B
mit m l = −l,...,0,...+ l.
Es hat sich eingebürgert, als Drehimpuls oft die Quantenzahl l = max � � Lz anzugeben.
� � �
µz
Entsprechend bezeichnet man als magnetisches Moment µ die Zahl µ =max . Mit diesen
µB
Beziehungen folgt aus (6.2.1):
µ = gl · l
Wir hatten in Kapitel 5 gesehen, daß die Energie eines Zustandes nur von der Hauptquantenzahl n
und (da die l–Entartung aufgehoben ist) von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt. Jetzt
ergebensichfür jedes l noch einmal (2l +1) neueml –Quantenzahlen, von denen die Energie
offenbar nicht abhängt:
Jeder Zustand mit der Energie Wn,l ist (2l +1)–fach ml –entartet.
Wie kann man die Entartung aufheben? Wegen des magneto–mechanischen Parallelismus �µ =
+γ� L und mit der potentiellen Energie eines magnetischen Dipolmoments im Magnetfeld � B:
Wpot = −�µ � B folgt eine Energieaufspaltung in einem Magnetfeld � B.
W pot = −�µ � B = −
�
−g l
�
l(l +1)µB · � L
| � �
·
L|
� B