Experimentalphysik III (Atomphysik)

180 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
die Spins antiparallel sind (χ 1,0,−1
1 ), dann sind die Elektronen dicht beieinander, da nach (9.1.1)
|ψS | 2 sehr groß ist.
Zum Schluß dieses Abschnittes wollen wir zeigen, wie die antisymmetrische Wellenfunktion für ein
System mit N unabhängigen Fermionen dargestellt werden kann. Dazu betrachten wir zunächst
ein Zweielektronensystem.
Sind die beiden Elektronen unabhängig, ist also
E 12 = E 1 + E 2 ↔ ψ 1,2 = ψ 1 (1) · ψ 2 (2) .
Wir müssen jedoch erreichen, daß die Funktion antisymmetrisch wird beim Austausch von irgend
zwei Teilchen. Bei zwei Teilchen hatten wir das bewirkt, indem wir von ψ(1, 2) eine Wellenfunktion
subtrahierten, bei der die beiden Teilchen permutiert waren. Also
ψA (1, 2) = 1 √ [ψ1 (1) · ψ2 (2) − ψ1 (2) · ψ2 (1)] =
2 1 �
�
√ �
2
� ψ1 (1) ψ1 (2)
�
�
�
ψ2 (1) ψ2 (2) � ,
oder allgemein für N Teilchen: Gesucht wird wiederum eine antisymmetrische Linearkombination
ψA (N) mit der Eigenschaft:
�P 12 ψ A (1,...,i,j,...,N) = +ψ A (1,...,j,i,...,N)
= −ψ A (1,...,i,j,...,N)
Das Ganze läßt sich normiert wieder als Determinante schreiben:
ψA (N) = 1
�
�
�
�
√ �
N! �
�
�
�
�
�
�
�
�
Slater–Determinante
ψ 1 (1) ...ψ 1 (N)
.
ψ N (1) ...ψ N (N)
(die Indizes geben den Quantenzustand an, in Klammern stehen die Teilchenkoordinate). Wenn
nun 2 Fermionen eines Systems in allen Quantenzahlen übereinstimmen, so sind 2 Spalten gleich
und ψ A = 0. Dies ist genau der Inhalt des Pauli–Prinzips: Zwei Fermionen des gleichen Systems
können nicht in allen ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
9.2 Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip
Wechselwirkungen bei Einelektronensystemen:
1. Coulomb–Wechselwirkung Kern — Elektron
2. Spin–Bahn–Wechselwirkung des Elektrons � Feinstruktur–Aufspaltung
3. Relativistische Elektronen–Masse � Aufhebung der l–Entartung
4. Quantenelektrodynamische Effekte � Lamb–shift
5. Magnetische Wechselwirkung Kern — Elektron � Hyperfeinstruktur
Neu hinzukommende Wechselwirkungen bei Mehrelektronensystemen: