Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.5. Beispiele 159
Die Wellenfunktion des Wasserstoffproblems lautet damit
ψn,l,m (r, ϑ, ϕ) =Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, ϕ) . (7.5.6)
Die Indizes n, l und m sollen noch einmal verdeutlichen, daß ψ von den Quantenzahlen n, l und m
abhängig ist. Man nennt l die Bahndrehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl.
Die Energien betragen
E n =
−µe4 2(4πε0 ) 2 1
·
�2 n2 mit
n =1, 2, 3,...
l =0, 1, 2,...,n− 1
� �� �
n–Werte
m = −l,...,0,...,+l
� �� �
2l +1Werte
(7.5.7)
Die Energien hängen also nur von der Hauptquantenzahl n ab. Da zu jedem Wert von n die
beiden Quantenzahlen l und m den durch (7.5.7) definierten Bereich durchlaufen können, gibt
es zu jedem Wert von n genau �n−1 l=0 (2l +1)=n2 Kombinationen der anderen Quantenzahlen,
die zur gleichen Energie führen: Entartung. Es existieren also für ein n jeweils n2 verschiedene
Wellenfunktionen. Diese Entartung entsteht durch das 1
r –Potential. Es läßt sich zeigen, daß für
ein beliebiges Zentralkraftpotential, mit V (r) �= 1
r ,diel–Entartung aufgehoben wird. Störungen
des 1
r –Potentials erhalten wir durch das ” Effektive Potential“, die Relativisitische Masse“,und
”
durch Sommerfelds Tauchbahnen“. (vgl. Kapitel 5.6)
”
Die m–Entartung wird aufgehoben, wenn die Zentralsymmetrie aufgehoben wird. Eine solche
Aufhebung erhalten wir durch Anlegen eines magnetischen oder elektrischen Feldes.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron bei den Koordinaten r, ϑ, ϕ zu finden ist gegeben durch
P (r, ϑ, ϕ) =|ψ(r, ϑ, ϕ)| 2 = |R(r) · Y m
l (ϑ, ϕ)|2 .
Nun soll uns aber nicht diese Wahrscheinlichkeit interessieren, sondern die Wahrscheinlichkeit,
ein Elektron irgendwo im Abstand r zwischen r und r + dr zu finden, also unabhängig von den
Winkelkoordinaten ϑ, ϕ. Eine solche Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
P n,l (r)dr =
�π
0
�2π
|ψn,l,m (r, ϑ, ϕ)| 2 r 2 dr sin ϑdϑdϕ= r 2 |R(r)| 2 �π
�
dr
0
= r 2 |R(r)| 2 dr = |u(r)| 2 dr .
0
2π
0
|Y m
l (ϑ, ϕ)|2 sin ϑdϑdϕ
Unter dem Integral steht gerade die auf Eins normierte Wahrscheinlichkeit dafür, daß
die Winkelkoordinaten irgendwo auf der Kugeloberfläche liegen. Multiplizieren wir diese
Wahrscheinlichkeit mit der Elementarladung e so erhalten wir die radiale Ladungsdichteverteilung
e · P n,l (r)dr.