Experimentalphysik III (Atomphysik)

142 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Dies ergibt sich durch eine einfache Rechnung, wenn man berücksichtigt, daß |ψ k0 (x)| 2 =
C 2 ist. Diese Wellenfunktion muß — als Wellenpaket — viele Wellenzahlen enthalten. Dies
wollen wir nun ausrechnen. Dazu multiplizieren wir diese Funktion mit einer anderen auf
a normierten Wellenfunktion mit der Wellenzahl k und integrieren im Ortsraum über den
Bereich a:
�
+ a
2
− a
2
ψ ∗ k0 (x)ψ 1
k (x) dx =
=
a
�
+ a
2
− a
2
1
ia(k − k 0 )
e −i(k0x−kx) dx (7.2.4)
�
a i
e 2 (k−k0) a −i
− e 2 (k−k0)�
= sin � a
2 (k − k0 )�
a
2 (k − k = ϕ(k) .
0 )
(7.2.5)
Diese Funktion hat die gleiche Gestalt im k–Raum“ wie vorher das Wellenpaket in Abbil-
”
dung 7.7 im Ortsraum.
k0 − 2π
a
ϕ(k)
k0
k0 + 2π
a
Abb. 7.8: Darstellung des Spektrums.
k
Was haben wir gemacht? Wir haben im Bereich
a einen ” Überlapp“ zwischen ψ k0 (x) und
ψ k (x) mit beliebigem k–Wert gebildet. Wenn
k = k 0 ist, ist der Überlapp komplett. Das Integral
� ψ k0 ψ k dx = ϕ(k), also die Fouriertransformierte
von ψ k0 (x) hat ein einziges Maximum.
Ist k �= k 0 so gibt es einen Bereich, indem der
Überlapp noch nicht verschwindet; und — wenn
|k − k 0 | groß wird — einen Bereich, indem der
Überlapp verschwindet.
Mit diesem Verfahren kann man also herausfinden, welche k–Werte der endliche Wellenzug
enthält: ϕ(k) ist die Funktion für das k–Spektrum. Dies ist anschaulich: Je länger
der Wellenzug (also je größer a ist), um so schmäler ist das Spektrum. Je kürzer Wellenzugist,umsomehrk–Werte
sind möglich, so daß die Wellen im Bereich a einen nicht
verschwindenden Überlapp zeigen. Also gilt
∆x = a
∆p = �∆k = � 4π
�
∆x · ∆p =4π� =2h
a
4. Jetzt sieht man sofort wie die ebene Welle zu normieren ist: Wenn a →∞geht, gibt es nur
einen Überlapp mit der Welle für k = k 0 . Die Spektralfunktion ϕ(k) gehtüber in δ(k −k 0 ),
d.h. sie entartet zu einem unendlich hohen Strich bei k = k 0 : Dirac’sche δ–Funktion.
Die Multiplikation von (7.2.4) mit a
2π ergibt:
�
+ a
2
− a
2
1
√ 2π e −ik0x ·
Betrachten wir nun den Grenzübergang a →∞:
�+∞
−∞
1 −ik0x 1
√ e √ e
2π 2π ikx dx = lim
a→∞
1
√ e
2π ikx dx = 1 sin
π
� a
2 (k − k0 )�
k − k0 1 sin
π
� a
2 (k − k0 )�
≡ δ(k − k0 )
k − k0