Experimentalphysik III (Atomphysik)

8.2. Der Drehimpulsoperator 167
Für die anderen Komponenten gilt das Analoge:
� lx � ly − � l y � lx = i� � l z
� ly � lz − � l z � ly = i� � l x
� lz � lx − � l x � lz = i� � l y
Es lassen sich nie zwei der drei Drehimpulskomponenten simultan scharf messen!
Es kann aber simultan mit einer Komponente zum Beispiel lz , das Betragsquadrat l2 scharf
gemessen werden, denn � l2 und �l z sind vertauschbar. Es ist
�l 2� l z − � l z � l 2 = � lx � lx � lz − � l z � lx � lx + � l y � ly � lz − � l z � ly � ly
= � l x (−i� � l y + � l z � lx ) − (i� � l y + � l x � lz ) � l x
+ � l y (i� � l x + � l z � ly )+(i� � l x − � l y � lz ) � l y
= −i� � l x � ly − i� � l y � lx + i� � l y � lx + i� � l x � ly =0,
also l� 2�lz − �l �
zl2 =0 .
� �
Dies gilt für alle Kombinationen �l 2 , �li =0miti = x, y, z.
Nun sollen die Eigenwerte von �l z und � l2 für das Problem der Zentralkraftbewegung berechnet
werden. Die Energieeigenfunktionen haben nach (7.5.6) die Form
ψn,m,l = Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, ϕ) .
Sie sind die Lösungen der Gleichung � Hψ n,m,l = E n ψ n,m,l
mit � H = − �2
2µr2 � � �
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
sin ϑ
und für V (r) = −e2
4πε 0 r
und E n =
�
∂
sin ϑ
∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
µe4 2(4πε0 ) 2 1
·
�2 n2 sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
+ V (r)
(H–Atom) .
Der Hamiltonoperator ist in sphärischen Polarkoordinaten angegeben. Wir erhalten ihn durch
3–dim Erweiterung von (8.1.1) und durch Anwendung des Laplaceoperators in sphärische Polarkoordinaten
(vgl. Kapitel 7.5.3). Nun rechnen wir die Drehimpulsoperatoren ebenfalls auf
sphärische Polarkoordinaten um. Es ist
�
�lz = −i� x ∂
�
∂
− y .
∂y ∂x
Ferner gilt:
∂
∂x
∂
∂y
∂r ∂ ∂ϑ ∂ ∂ϕ ∂
= + +
∂x ∂r ∂x ∂ϑ ∂x ∂ϕ
∂r ∂ ∂ϑ ∂ ∂ϕ ∂
= + +
∂y ∂r ∂y ∂ϑ ∂y ∂ϕ