Experimentalphysik III (Atomphysik)

140 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
ψ(x, t) =
k0+ ∆k0 � 2
k0− ∆k 0
2
Ae +ikx e −iωt dk =
�
+∞
−∞
Ae +ikx e −iωt dk . (7.2.1)
Die Funktion ϕ(k) beschreibt das Spektrum der vorkommenden Wellenzahlen und läßt sich
umgekehrt als Fouriertransformierte von ψ(x) schreiben:
ϕ(k) =
�
+∞
−∞
ψ(x)e −ikx dk .
In Abb. 7.3 haben wir das Spektrum für den Fall eines scharf definierten Impulses. Abb.
7.5 zeigt eine Rechteckverteilung der Wellenzahlen, das wie wir gleich sehen werden (vgl.
Abb. 7.6), einem begrenzten aber oszillierenden Verhalten von ψ(x) entspricht. Nun sind k
und ω nicht unabhängig voneinander. E = p2
2m � �ω = �
sich für die Phasengeschwindigkeit vPh folgende Beziehung:
v Ph = ω
k
�
= k = f(k) =g(λ)
2m
2 2
k
2m =⇒ ω = �
2mk2 . Damit ergibt
Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge bezeichnet man als Dispersion.
Materiewellen zeigen bereits im Vakuum Dispersion. Da nach obigem Dispersionsgesetz
ω von k abhängt, setzen wir k = k0 +(k − k0 ) und entwickeln ω an der Stelle k0 nach
ξ := k − k0 , wobei wir nach dem zweiten Glied abbrechen: ω = ω0 + � �
dω
dk ξ. Setzen wir
diese Beziehungen in (7.2.1) ein, so erhalten wir folgendes Integral:
oder ausintegriert
oder für t =0
ψ(x, t) =Ae i(k0x−ω0t)
+ ∆k
� 2
− ∆k
2
e i � x − dω
dk t� ξ dξ mit ξ = k − k0
ψ(x, t) =2A sin � x − dω
dk t� ∆k
2
x − dω
dk t
e i(k0x−ω0t) , (7.2.2)
ψ(x) =2A ∆k
2
sin � ∆k
2 x�
x ∆k
2
e ik0x .