Experimentalphysik III (Atomphysik)

1.2. Bestimmung von N A aus der kinetischen Gastheorie 7
ξ
Abb. 1.4: Schematische Darstellung der mittleren
Verschiebung ξ.
Über den Weg eines Teilchens bei seiner Zitterbewegung
kann man keine Voraussetzungen machen. Wohl
aber läßt sich statitisch der Mittelwert des Quadrates
der Verschiebung nach der Zeit ∆t bestimmen: Bewegt
sich ein Teilchen mit Radius r in einer Flüssigkeit
der Zähigkeit η und der Temperatur T so beobachtet
man nach der Zeit ∆t eine Verschiebung ξ, die identisch
mit dem momentanen Abstand des Teilchens von
seinem Ausgangspunkt ist.
Die Anzahl der Teilchen, die in ∆t eine Verschiebung zwischen ξ und ξ +∆ξ in Richtung
x erleiden, ist N · ϕ(ξ) dξ.
Abb. 1.5: Zur Einsteinschen Theorie der
Brownschen Molekularbewegung.
Dabei ist ϕ(ξ) eine normierte, symmetrische
Verteilungsfunktion, es gilt:
�
+∞
−∞
ϕ(ξ) dξ =1
sowie ϕ(ξ) =ϕ(−ξ)
da eine homogene Suspension vorliegt. Wir interessieren
uns für die Anzahl der Teilchen N, die
von links die Ebene x = 0 durchlaufen und aus
dem Volumen dV = A · dx stammen; dieses Volumen
kann irgendwo im linken Halbraum liegen.
Von den A · n(x) · dx Teilchen in diesem Volumenelement
tragen nur jene zu N→ bei, welche
eine Verschiebung ξ>−x erleiden, d.h.
�∞
ξ=−x
A · n(x) dx ϕ(ξ) dξ
Teilchen.
Da die Fläche A irgendwo im linken Halbraum liegen kann, folgt durch Integration über
den gesamten linken Halbraum
N → =
�0
�∞
x=−∞ ξ=−x
oder mit x ′ = −x und der obigen Gleichung
N → =
�∞
�∞
x ′ =0 ξ=x ′
An(x) dx ϕ(ξ) dξ ,
A(n 0 + Gx ′ )ϕ(ξ) dξ dx ′ .