Experimentalphysik III (Atomphysik)

114 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Wir hatten im vorigen Kapitel Ellipsen mittels der azimutalen Quantenzahl n ϕ und der radialen
Quantenzahl n r nach Größe und Gestalt gequantelt.
�L
�Lz
z
ϑ
r · sin ϑ
Abb. 6.7: Darstellung der Elektronenbahnen in
sphärischen Koordinaten.
ϕ
Die zu r, α und ϑ kanonischen Impulse sind:
Während
r
α
P
x
Nun werden wir auch die Lage im Raum
bestimmen, d.h. wir heben aus der kontinuierlichen
Mannigfaltigkeit aller möglichen
Raumlagen eine diskrete Anzahl gequantelter
Bahnen hervor. Zum besseren Verständnis
beschreiben wir die Elektronenbahnen wieder in
sphärische Koordinaten r(t), α(t) und ϑ(t). Die
Geschwindigkeit in sphärische Koordinaten ist
gegeben durch vr = ˙r, vϑ = r ˙ ϑ, vα = r sin ϑ ˙α
und v2 ges = v2 α + v2 ϑ + v2 r . Dann ist die kinetische
Energie:
W kin = m
2
�
˙r 2 + r 2 (sin 2 ϑ · ˙α 2 + ˙ ϑ 2 �
)
p r = ∂W kin
∂ ˙r = m ˙r, p α = ∂W kin
∂ ˙α = mr2 sin 2 ϑ ˙α und p ϑ = ∂W kin
∂ ˙ ϑ = mr2 ˙ ϑ.
p ϕ = mr 2 ˙ϕ = mr 2 ω = | � L| der Bahndrehimpuls ist, ist
p α = m(r sin ϑ) 2 ˙α = m(r sin ϑ) 2 · ω z = L z die z–Komponente vom Bahndrehimpuls.
Entsprechend unserer 3 Freiheitsgrade erhalten wir 3 Quantisierungsbedingungen
�
2
W kin dt =
=
�
�
p r dr +
�
p ϕ dϕ =
p r dr + mr 2 ω · 2π =
�
�
p r dr +
�
p α dα +
p r dr + m(r sin ϑ) · 2πω z +
= n r h + n ϕ h = n r h + n α h + n ϑ h
�
�
p ϑ dϑ
p ϑ dϑ
Stellt man nun den Ergebnissen von Sommerfeld den erst später gefundenen Ergebnissen der
Quantenmechanik gegenüber, so findet man
mr 2 ω = | � L| = n ϕ � ≡ k� | � L| = � l(l +1)�
m(r sin ϑ) 2 ω z = L z = n α � L z = m l · �
Nun kann L z maximal die Werte ±| � L| erreichen, also
−n ϕ ≤ n α ≤ n ϕ −l ≤ m l ≤ +l
n ϕ ,n α ganzzahlig l, m l ganzzahlig
n α : 2n ϕ +1Werte: − n ϕ ...0 ...n ϕ m l : 2l +1Werte: − l,...0,...l