Experimentalphysik III (Atomphysik)

7.4. Zeitunabhängige Schrödingergleichung 145
In der Tat ist wegen der Normierung von ψ(x) und den ebenen Wellen folgende Beziehung gültig
�
+∞
−∞
|c(p x )| 2 dp x =1, wie es sich für Wahrscheinlichkeiten gehört.
Jetzt können wir also Wahrscheinlichkeiten angeben für das Auffinden eines Teilchens an einem
bestimmten Ort und für einen bestimmten Impuls. Wir können aber nur Wahrscheinlichkeiten
angeben, da wir wegen der Unschärferelation statistisch verteilte Meßwerte ( ” Quantenfluktuationen“)
haben. Dies ist offenbar analog zu einer mit statistischen Fehlern behafteten Messung. Dort
können wir Mittelwerte bilden und den mittleren quadratischer Fehler, die Varianz, angeben. Das
gelingt uns hier auch, weil wir ja die Verteilungsfunktionen, nämlich die Wahrscheinlichkeiten,
kennen.
Abb. 7.9: Diskrete
Verteilung.
x =
�
i
n i x i
�
ni i
→
� n(x)xdx
� n(x)dx
Abb. 7.10: Übergang zur kontinuierlichen Verteilung.
Im Fall der Ortsmessung, bzw. Impulsmessung entspricht der Verteilungsfunktion n(x) das Produkt
ψ(x)ψ(x) ∗ = |ψ(x)| 2 ,bzw.c(p x ) ∗ c(p x )=|c(p x )| 2 . Wir erhalten also ein Rezept zur Bildung
von Mittelwerten:
x =
x 2 =
f(x) =
V (x) =
+∞ �
−∞
+∞
�
−∞
+∞
�
−∞
+∞
�
−∞
ψ ∗ (x)xψ(x) dx ≡〈x〉 p x =
ψ ∗ (x)x 2 ψ(x) dx ≡〈x 2 〉 p 2 x =
ψ ∗ (x)f(x)ψ(x)dx ≡〈f(x)〉 E kin =
ψ ∗ (x)V (x)ψ(x)dx ≡〈V (x)〉
+∞ �
−∞
+∞
�
c ∗ (p x )p x c(p x ) dp x = 〈p x 〉
c ∗ (p x )p 2 x c(p x ) dp x = 〈p2 x 〉
−∞
+∞ �
c
−∞
∗ (px ) p2x
2m c(p x )dp x = 〈E kin 〉
(7.3.1)
Der Nenner wird wegen der Normierungsbedingung jeweils Eins.
Man nennt diese Werte die quantenmechanischen Erwartungswerte.
Wir sind jetzt also in der Lage, bei Kenntnis der Wellenfunktion ψ(x) eine ganze Reihe von
Meßgrößen — als Mittelwerte — zu berechnen: 〈x〉, 〈px 〉, 〈V (x)〉, 〈Ekin 〉 usw. . Da wir auch
〈x2 〉 und 〈p2 x 〉 angeben können, erhalten wir aus σ2 = 〈x2 〉−〈x〉 2 auch die Varianzen σ ( mittlerer
”
quadratischer Fehler“) = Unschärfen ∆x.
7.4 Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Alle quantenmechanischen Informationen stecken in der Wellenfunktion ψ(x, t). Wie sieht diese
Funktion für ein vorgegebenes Problem aus? Wir müssen zu ihrer Bestimmung die Wellengle-