Experimentalphysik III (Atomphysik)

160 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Abb. 7.23: Normierte Radialfunktion und normierte radiale Wahrscheinlichkeitsdichten.
∞�
Der Erwartungswert des Radialabstands ergibt sich zu 〈rn,l 〉 = u
0
∗ n,l (r) · r · un,l (r)dr =
�
na0
Z 1 − 1
�
2 1 − l(l+1)
n2 ��
. Er läßt sich in geschlossener Form angeben und für n = 1 , l = 0
ergibt sich 〈r10 〉 = a0
Z , der klassisch gefundene Bohrsche Radius. Die kugelsymmetrischen l =0
Zustände geben eine konzentrische Schalenstruktur mit n Schalen. Für l �= 0ändert sich erstens
die Radialverteilung bei gleichem n, und zweitens werden auch die Winkelfunktionen aus
den Kugelschalen räumlicher Figuren herausprojiziert. Nach gleichem Rezept wird der bei der
Feinstruktur benutzte Erwartungswert
�
1
r3 �
=
�
0
∞
u ∗ 1
n,l (r)
r3 u Z3
n,l (r)dr =
a3 ·
0
1
n3l(l + 1
2 )(l +1)
berechnet.
Wenn m–Entartung vorliegt, haben alle Zustände mit verschiedenen m die gleiche Energie, damit
die gleiche Besetzungswahrscheinlichkeit für alle Konfigurationen. Die Summe über alle Koor-
� dinaten ist kugelsymmetrisch. D.h. fügt man bei gleichem n und l die räumlichen Gebilde
m |Yl (ϑ, ϕ)| 2� aller m–Werte zusammen, so erhalten wir für jedes n eine Kugel. Mathematisch
zeigt sich das Zustandekommen einer Kugel folgendermaßen:
�+l
m=−l
|Y m
l (ϑ, ϕ)|2 2l +1
= = const.
4π
d.h. die z–Achse kann beliebig in den Raum gelegt werden. Es gibt keine Orientierung. Erst
wenn das Atom in ein äußeres Feld gebracht wird, wird die m–Entartung aufgehoben und die
Zustände mit verschiedenen m haben verschiedene Energie. Eine Messung der Orientierung ist
dann möglich. Dies war bisher nur eine formale Lösung. Die Bedeutung von l und m wird erst
nach der Besprechung des Drehimpulsoperators klar (vgl. dazu Kapitel 8.2).